公考剩余定理(数学剩余定理)

一、中国剩余定理的由来

我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

二、“中国剩余定理”算理及其应用

明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

三人同行七十(70)稀，五树梅花廿一(21)枝，

七子团圆正月半(15)，除百零五(105)便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：70×2+21×3+15×2-105×2=23

为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。(任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

三、“中国剩余定理”的应用

主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。

例1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

A、81　　

B、34　　

C、128　　

D、103

【答案】B　解析：本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40;使15被4除余1，用15×3=45;使12被5除余1，用12×3=36。 然后，40×1+45×2+36×4=274。因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。所以选择B选项。

例2、一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几?

A、53　　

B、34　　

C、128　　

D、73

【答案】A　解析：本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112;使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105;然后，112×2+120×4+105×5=1229。

因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。所以选择A选项。

例3、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

A、24　　

B、46　　

C、299　　

D、73

【答案】C　解析：本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176;

使55被8除余1，用55×7=385;

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4+385×3+320×2=2499。

因为，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。所以选择C选项。

例4、有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人?

A、95　　

B、116　　

C、99　　

D、302

【答案】D　解析：本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280;使45被7除余1，用45×5=225;

使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877。

因为，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数，所以选择D选项。

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