集合容斥极值公式(集合容斥问题3个公式)

容斥问题在你眼中是否繁琐呢?采用容斥问题的公式或者借助文氏图分析，相信双通道可帮助同学们绕出容与斥的复杂;极值问题是否也带给你困扰?常见和定求最值、为保证完成目的的最不利分析、行走最短路程的探索等，协助了同学们一点点熟知极值的脾性。而容斥问题与极值问题共同孕育的容斥极值，让多集合在全集中使劲挤兑，数量关系与资料分析的考查中，它皆是常客。很多同学感觉它走出了繁琐与困扰，有些负负得正的韵味。如何分析应用呢?中公教育专家与同学们来一起探讨：

例题1：在阳光明媚的一天下午，甲乙两人给30盆花浇水，已知甲浇了20盆花，乙浇了17盆花。假设甲乙两人给每盆花浇水量相同，且每盆花浇水不宜过量，若重复浇水需放到室外光照、风量较好处养护，那么两人浇水后至少搬至室外多少盆花?

A.3 B.5 C.7 D.9

【中公解析】正确答案为C。共有30盆花，甲浇了20盆花，乙浇了17盆花，所以必会存在两人均浇过的花，即重复浇水需移至室外养活的花。根据两者容斥问题的公式：I=A+B-A∩B+M，即30=20+17-A∩B+M，得A∩B=7+M。若要A∩B最小，那么M的值也要尽可能小，M最小可取0，此时A∩B最小为7，故本题选C。(注：I表示全集，A、B分别表示全集中的两个集合，M表示既不属于集合A也不属于集合B的部分，即补集)

在花朵都如此有求生欲的今天，这一题在考场上又怎会不宝贵呢?但经过分析可知此题的计算难度并不高，所求为两集合公共部分的最小值，即在全集中既不属于A集合也不属于B集合的M取得0的前提下求得(A∩B)min=A+B-I。以此类推，若在容斥中求极值，则全集中多集合间公共部分的最小值分为：

(A∩B)min=A+B-I;

(A∩B∩C)min=A+B+C-2I

(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I

……

例题2：2019年年末全国大陆总人口140005万人，比上年末增加467万人，其中，城镇常住人口84843万人，占总人口比重(常住人口城镇化率)为60.60%，比上年末提高1.02个百分点。户籍人口城镇化率为44.38%，比上年末提高1.01个百分点。全国人户分离的人口占大陆总人口的20%，其中，84.29%为流动人口。

问题：2019年年末，城镇常住人口中，男性人口占比至少为：

A.5.2% B.11.7% C.17.5% D.19.3%

【中公解析】正确答案为D。所求为城镇常住人口中的男性人口占比，由表格可知，2019年年末，城镇常住人口占全国总人口比重为60.6%，男性人口占全国总人口比重为51.1%，则既是城镇常住人口又是男性人口占总人口的比重至少为60.6%+51.1%-1=11.7%，则城镇常住人口中，男性人口至少占11.7%÷60.6%≈19.3%，选择D项。

容斥极值求解可还容易判定?即求解多个集合公共部分的极值，在数量关系与资料分析的考查中均可现影，看似复杂其实多加训练后，你会对它由陌生到熟悉，好感慢慢升级。所以夯实容斥问题的基底，练就推导本领，即使难题亦可迎刃而解，希望同学们在训练中都可有更大收获!

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