不定方程解的个数问题(数学不定方程题)

一、什么是不定方程

未知数的个数大于独立方程个数的等式，称为不定方程。

二、不定方程求解方法

1.奇偶性

当方程中未知数的系数一奇一偶时，可利用奇偶性求解。

奇数+奇数=偶数;奇数+偶数=奇数;偶数+偶数=偶数;

奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数;偶数×偶数=偶数

【例1】已知7x+4y=29，x、y为正整数，则x为( )。

A.5 B.4

C.2 D.6

【解析】A。4y为偶数，29为奇数，所以7x一定为奇数，所以x为奇数，故选择A选项。

2.整除法

当方程中的常数与其中一个未知数前系数有非1的公约数时，可以利用整除法求解。

【例2】已知3x+7y=33，x，y均为正整数，则y为( )

A.11 B.10

C.9 D.8

【解析】C。根据题干所给信息，求不定方程中未知数y 的可能性取值，常数33与x前系数3有公约数3，考虑使用整除法。3x与33均为3的倍数，则说明7y一定也是3的倍数，又因为7不是3的倍数，则说明y一定是3的倍数。选项中只有y取9时符合题意，故选择C选项。

3.尾数法

当方程中未知数的系数出现以0或5结尾时，可以考虑尾数法。(一个数乘以尾数为5的数，结果的尾数要么是0要么是5，一个数乘以尾数为0的数，结果的尾数一定是0)

【例3】3x+10y=41，且x和y都是整数，那么请问x可能是以下哪个数据?

A.3 B.5

C.7 D.9

【解析】C。根据题干信息，未知数y前系数为10，可以考虑使用尾数法。10y这一部分尾数一定是0，41的尾数是1，那么3x这一部分的尾数一定是1，在所给的四个选项中，只有当x=7时，3×7=21，尾数为1，符合题意，故选择C选项。

不定方程的解是有无数组的，只能确定其中一个未知数的值，另外一个未知数才可以求出来，我们用的解题方法都是根据题目特点去限制未知数的范围，选出符合题意的正确结果。因此在一些题目里也会将多种方法结合在一起去求解。通过下面的例题我们一起学一学：

【例4】已知6x+5y=41，x、y为正整数，则x为( )

A.3 B.4

C.5 D.6

【解析】D。6x为偶数，41为奇数，所以5y一定为奇数，所以y为奇数，当y为奇数时，5y尾数为5，41的尾数为1，则6x尾数为6，只有D选项，乘6以后的尾数为6，故选择D选项。

方程作为常用的解题方法，各位考生一定要学会应用，使用各类方法时，一定要注意其应用的条件，做到灵活使用。

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