数量关系隔板法(隔板模型例题)

在排列组合这一大题型当中，同学们可能会遇到一类比较特殊的题型——隔板模型，一般我们也把这类特殊的题型叫做同素分堆问题。在做题过程中，如果我们不理解这个知识点，或者考虑这类问题思路单一，那么同学们可能就做不出来，或者容易做错。但其实只要我们转换思路，了解原理，将同类型的题目转化为隔板模型去做，那么排列组合就很简单了，在考试过程中也可以快速的拿分。接下来中公教育就带着大家来一起学习这种方法。

基本概念

把n个相同元素分给m个不同的对象，每个对象至少一个元素，则共有种分法。

接下来，我们用一道简单的例题来了解其中的原理。

【例1】

某幼儿园老师购买了10个苹果，打算分给3个不同的小朋友，每人至少分到一个苹果，共有多少种不同的分法?

A.16 B.28 C.36 D.48

【中公解析】答案：C。如果我们按照正常的思路去解题的话，3个小朋友，每个小朋友最少分1个，最多分8个，所以存在很多情况，解起题来就十分麻烦。但是如图所示，如果我们把10个苹果摆成一排，这样分给3个人，每人至少一个，就只需要拿两块板把这一排苹果隔成3堆就可以了，这就是我们所说的隔板模型。

从图中可以看出，如果要分成3堆，则需要2块板，而且既然要保证每人都有苹果，所以最两边不能插板，相当于是从中间的9个空中选择两个空插入2个板，此时结合排列组合的知识点可知，共有的方法有：种。故此题选C。

所以由此可见，只要一道题满足n个相同元素分给m个不同对象，并且全部分完没有剩余，每个对象必须至少分一个，那么我们就可以直接利用这个结论去做题了。

题目变型

但其实同学们更多的是遇到隔板模型的变形题，题目中的条件可能会发生变化，比如接下来这道题：

【例2】

某单位订阅了30份相同的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?

A.7 B.9 C.10 D.12

【中公解析】答案：C。这道题目在分配方式上发生了变化，不再是每个对象至少分一个，所以就不能直接用刚才的结论去解题，此时我们就需要将题干中不满足隔板模型基本特征的条件进行转化，把每个部门至少发放9份转化成每个部门至少发放1份，那就需要先给每个部门发放8份，则3个部门就先发放了24份，此时还剩下6份，接着继续分给这3个部门，而此时每个部门至少再发放一份，满足隔板模型的基本特征，利用刚才总结的结论，则共有种。故此题选C。

【例3】

将12个一样的汽车模型全部分给3个小朋友，任意分，共有多少种不同的分配方式?

A.91 B.100 C.121 D.135

【中公解析】答案：A。这道题目不满足隔板模型中的每个对象至少分一个的特征，所以同样要进行转化，先从每个小朋友手里借一个，所以3个小朋友就共借出了3个，再加上原来有的12个，则共有15个汽车模型，此时再去分配的话，由于最初借了，那现在就需要去归还，所以每人至少分一个，满足隔板模型基本特征，则直接利用结论，共有种分配方式。故此题选A。

总结

对于隔板模型，大家需要在理解模型的基础上再去熟练掌握标准模型的公式，那么在面对变形题目时，我们才能熟练运用先分或先借的思维转化成标准模型去进行求解，从而在考试中快速拿分，拔得头筹。

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