双剑合璧后一句(双剑合璧意思)

容斥问题，是公考行测数量关系中常考的题型。所谓容斥问题，本质是考察对集合间关系的理解。常见的题型分为，两者容斥，三者容斥和容斥极值。中公教育专家用两大方法——图示法和公式法，帮助考生精准作答。

一、两者容斥：

例：某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人?

【中公解析】：从题干中得知，“物理竞赛”和“数学竞赛”两个集合存在交叉关系，属于容斥问题，不妨画图分析一下。用封闭曲线表示各个集合的位置关系，集合A表示参加物理竞赛，B表示参加数学竞赛，I表示全班，m表示都没有参加的。如下图，

设都参加的人为x，则有60=30+32-x+20，解得x=22(人)。

由上述解析过程可知，图示法以直观的方式体现数据间的运算关系，公式法则需要与题干中的数据对应，找到等量关系。每种方法都有各自适合的题干，本质都是集合区域间的运算关系。

二、三者容斥：

例：某专业有若干学生，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修了甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，三门课程都选的有20人，三门课都未选的有2人。问该专业共有学生多少人?

【中公解析】

1：图示法，画出文式图，将已知数据填入各个区域，如下图。

三者容斥与二者容斥相比，题干数据更多，对应计算关系更加复杂，考生应注重公式的理解和数据的对应，方能快速作答。

三、容斥极值：

例1：在100名学生中，体育爱好者68人，音乐爱好者46人，两个都爱好的最少有多少人?

例2：小明、小红、小哲三人参加一次考试，题目共有100道，现已知小明做对了68题，小红做对了73道题，小哲做对了75道题，则三人都做对了至少多少道题?

例3：有45人参加四项比赛，统计参加人四个项目分别有38、40、32、35人参加，则至少有多少人四项都参加?

【中公解析】：容斥中的极值问题，所求为多个集合公共部分的最小值。对于此类题目直接套用公式：

n个集合交集的最小值=n个集合的和-(n-1)全集。

例1解答，68+46-100=14，都爱好的至少14人;

例2解答，68+73+75-2×100=16，都做对的至少16题;

例3解答，38+40+32+35-3×45=10，都参加的至少10人。

对于容斥极值问题，基本思路是利用公式进行推导，常见题型中，则只需记住对应的公式即可求解。

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