如何求解二元一次不定方程(求二元一次不定方程的通解)

在行测备考过程中，行测理科数量关系里对应的计算问题、行程问题、利润问题、工程问题、年龄问题等，几乎一次考试中的大部分数量关系的题目都可以用方程法去完成。若是找到等量关系，设好未知数，方程列出来，就算不会解，我们也可以将选项带入排除，从而找到那个唯一的正确选项。普通方程对于我们的考生而言，是很容易解的，但解不定方程，有些学员就有点迷糊了。在这里，中公教育专家给大家介绍二元一次不定方程的解法——三看法，熟练操作几次，相信你再也不怕不定方程了。

一、认识不定方程

1.方程

含有未知数的等式，叫方程。例如：

2.不定方程

未知数的个数超过独立方程的个数，这样的方程叫不定方程。(独立方程，简言之就是这个方程能否由其他方程线性组合得到，如果能，则不是独立方程，如果不能，则是独立方程。)例如：

这个方程也叫二元一次不定方程，因为它未知数的个数有两个，且未知数的次数都是1，这样的方程是我们现在研究的重点。

这样的方程都叫做不定方程。

3.不定方程的解

能够让方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。在这里，主要介绍数量关系中最常见的二元一次不定方程的解的求法。例如：

可见，在实数范围里，这样的不定方程的解有无数组。但是在数量关系的应用题当中，我们借助不定方程去解一些应用题的时候，往往是在正整数范围里去解方程。在正整数里去解这样的二元一次方程，它的解往往只有一个或者有限个解。

二、求不定方程的解

1.求解方法

案例一：在正整数范围里去求解这个方程：

一看，x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。经观察，x前面的系数是2,2是偶数，所以无论x取到什么正整数，2x这一项一定是偶数。再看常数项21，是奇数。由于偶数加上奇数才能得到奇数，所以7y这一项必为奇。由此判定y必为奇数，因为y若为偶，7y也为偶了，不符合要求。

y限定为奇数，y只能等于1、3、5···，当y=1时，x=7;当y=3时，x=0,不是正整数，排除;当y=5时，x也不是正整数，往后更加不可能。因此，在正整数范围里，它只有唯一的一组解，就是x=7,y=1.

下面，再举一个例子，来一起感受三看法解题的快捷准确性。

案例二：在正整数范围里去求解这个方程：

一看，x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性。4是偶数，4y这一项必为偶，32是偶数，偶数+偶数=偶数，因此5x这一项也必为偶数，x必为偶数。

二看，x和y前面的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)。x前面的系数是5，是5的1倍，所以5x这一项的尾数一定是0或者5，根据刚才的结论，5x这项为偶，所以5x的尾数一定是0。32的尾数是2，根据0+2=2，得4y的尾数一定是2.从而限定了y的范围，y=3,8,13,18,23,28······代入方程，y=3才能让x是正整数,此时，x=4。因此这个方程的解为：x=4,y=3。

此外，这个方程还可以限定x的范围，我们可以：

三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因子(公约数)——利用整除去求解。5，4和32，这三个数，我们发现4和32这两个数有公共因子4，这两项都可以被4整除，那么5x这一项也必能被4整除。又由于5不能被4整除，所以x一定能被4整除。X的范围也限定了。x=4,8,······，x只能等于4，才能让y是正整数，此时y=3.因此这个方程的解为：x=4,y=3。

2.方法总结

在正整数范围里求二元一次不定方程的解。一看x和y前面的系数有没有偶数——限定未知数的奇偶性;二看x和y前面的系数有没有5的倍数——尾数(个位数)法限定未知数的范围;三看，未知数的系数和常数项这三个数有没有公共因子(公约数)——利用整除法进一步去限定未知数的范围。

三、方法应用

例1.校学生会组织篮球和足球比赛，需要篮球和足球总数不超过20个，篮球80元一个，足球50元一个，买两种球共花去2420元，问，买篮球多少个?

A.16 B.17 C.18 D.19

[中公解析]两种球共花去2420元建立等量关系。设篮球买了x个，足球买了y个。根据等量关系列出方程：，化简这个方程得到：。接下来解此二元一次不定方程：一看系数有8，是偶数，8x这项必为偶，242是偶数，则5y这项必为偶，y必为偶数。二看，5是5的倍数，结合尾数，5y的尾数一定为0,2+0=2，则8x的尾数定为2，结合选项只有19×8满足尾数是2。因此答案选D。此外，这个题方程得出之后，直接将选项一个一个代入，满足题目中正整数及和不超过20的要求即可。

例2.某超市将99个苹果进行包装，恰好用十多个盒子装完。大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，每个盒子刚好装满。问这两种包装盒相差多少个?

A.3 B.4 C.7 D.13

[中公解析]题目中存在着大包装盒装的苹果数加上小包装盒装的苹果数的和是99个，这样的等量关系。设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个。得到方程：。x和y都是正整数，且和在10到20之间。解方程：一看x前的系数有12是偶数，12x这项必为偶数，99是奇数。偶数加奇数才能得奇数，因此5y必为奇数，y必为奇数。二看y前有5，结合奇数性，5y的尾数必为5,99的尾数是9，由于4+5=9，得12x的尾数必为4，x的范围限定为2,7,12,17,22,27······依次代入，找到x=2时，y=15，当x=7时，y=3.再结合和在10和20之间，排除第二组解。正确的答案就出来了，x=2,y=15，大小包装盒数量差为13，因此本题选D。此外，本题，也可三看有没有公共因子。12和99都有公约数3，因此，12x和99都能被3整除，5y也必能被3整除，y必能被3整除，y的范围限定为3,6,9,12,15,18······，依次代入找到满足题目要求的唯一的那个解，求得当y=15的时候，x=2满足题意。因此，本题答案选D。

通过以上题目练习，大家熟练掌握了三看法了吗?对于其中原理感兴趣的学员可以查阅相应的同余定理相关资料。在我们备考的过程中，碰到的二元一次不定方程的情况较多，还有少许其他不定方程，比如说三元一次不定方程组，解法多样，其中最简单的就是直接令其中一个系数较复杂的那个未知数为0，然后在实数范围里去解普通方程组，从而找到要求的那个固定值。总之，遇到二元一次不定方程不要怕，代入排除法配合三看法包你一定能够解出来。注意具体题目具体分析，有的不定方程一看就限定了范围找到了答案，有的不定方程一看、二看加三看才能限定范围找到那个答案，大家要记得灵活使用此三看法。

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