多项式展开项数方法解析

要说用到插板法，就先必须讲讲什么情况可以用到：
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
（3） 分成的组别彼此相异

插板法的条件用我的话说就是这样：
（1） 数量多的元素相同
（2） 数量少的元素不同
（3） 数量少的每个元素至少要有一个数量多的元素

举个很普通的例子来说明
把8个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，C7 2 =21

既然今天是讲多项式的展开项数，又鉴于云淡大哥已经有总结过插板法的方法，所以言归正传，继续多项式展开


接下来看例题：

（X+Y+Z）^10的项数是多少？
A 55 B 66 C 78 D 91

这道题，很多朋友对这题可能会想到高中时的多项式分解，的确，那样做可以，但今天飞飞我在这里要讲的就是，还有更简便的方法。

我们先看看这第一种方法：
(x+y+z)^10 =C0 10*(x+y)^10+ C1 10*(x+y)^9*z+…+ C9 10*(x+y)*z^9+ C10 10*z^10
(x+y)^10有11项
(x+y)^9*z有10项
…………
一起有11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66项

在这里
我在浙江版上就简单的说了利用插板法，直接C12 2=66
但为什么是用插板法呢？
（A+B+C+D+……+N）^M 括号里面有N项
下面是我归纳的公式：C[（M+N-1），（N-1）] 你们用任何项数和任何次方去代，都是可以。
看到这里我们是不是看到有点像是插板法的感觉了呢？

但为什么就是插板法呢？

继续看

以例题为列子：
（A+B+C）^10，展开的项数的多少？
这时，N=3，M=10
A、B、C相当于是不同的盘子，而10次方相当于是10个相同的苹果
于是这题可以转化成，有10个相同的苹果，放到3个不同的盘子里，有几种方法？
而这距离插板法的第三点条件“至少一个”还差了点，因此，这题还得用军团云淡的“苹果法”将其转变
假设原来的3个盘子里已经有了3个和外面10个相同的苹果了，所以此时的苹果总数变成了10+3=13个
现在已经满足了“至少一个”的条件，所以已经符合插板法的全部条件
因此我们看，13个相同的苹果放到3个不相同的盘子里，每个盘子至少放一个苹果，有几种方法？
13个苹果有12个空，用2块板可以将其分成3堆，也就是分放到3个盘子里，因此就是：C12 2=66

所以，多项式次方的展开项数，可以转化成插板法来做。

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