最大公约数和最小公倍数应用题解题关键(最大公约数和最小公倍数例题)

在政法干警行测考试中，最大公约数与最小公倍数的问题在日常生活中应用的非常广泛，故而成为政法干警行政职业能力测验试题中比较常见的题型。这类问题一旦真正理解，计算起来相对简单。今天，中公行测网通过对最大公约数与最小公倍数的概念、解题技巧、例题等，加强考生对最大公约数与最小公倍数概念的理解和实际的运用，助考生做好政法干警备考工作。

一、最大公约数和最小公倍数的概念与性质

公约数：几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个称为这几个自然数的最大公约数。

公倍数：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个自然数的公倍数。

一个数的最大约数是其本身，最小约数是1。若两个数有共同的约数，则这个约数称为他它们的公约数，即“公用的约数”。一般来说，两个数的公约数不止一个，但是有限的，我们经常讨论最大的一个公约数，称为这两个数的最大公约数。

与公约数类似，两个数共同的倍数，称为公倍数。且这个公倍数不止一个，由于倍数可以无限大，所以我们把其中最小的一个公倍数，称为这两个数的最小公倍数。

二、最大公约数和最小公倍数的解题方法

(1)质因数分解法

质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，(24、60)=12。

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

(2)短除法

短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。

短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止(两个数互质)。

而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。

求最大公约数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。

三、例题精讲

(1)求最大公约数

【例】有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米?

A.8 B.12 C.18 D.24

【答案】C。解析：要截成同样长的小段，则截的长度应为54、72、36的公约数，最长的长度应为最大公约数。利用短除法，可以得知其最大公约数是18。

(2)求最小公倍数

【例】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号?

A.10月18日 B.10月14日

C.11月18日 D.11月14日

【答案】D。解析：每隔5、11、17、19天去一次，即每(5+1)、(11+1)、(17+1)、(29+1)天去一次，再次相遇经过的天数为6、12、18、30的最小公倍数。利用短除法或者质因数分解法，可知最小公倍数为180，所以180天后四人再次相遇，这一天为11月14日。故正确答案为D项。

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