走楼梯数学题(走楼梯算法)
【导读】
中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系解题技巧：排列组合之走楼梯模型。
行测数学运算是学生在准备考试的难点，也是学习的重点，而在行测数量关系中有一种很重要的题型——排列组合问题，是考试基本必考的知识点，而其中的走楼梯模型作为事业单位考试行测排列组合中的一个经典题型，难度较大。在本篇文章中，我们与中公教育研究与辅导专家一起来学习如何快速求解走楼梯模型。
1. 走楼梯模型
走楼梯模型主要指爬楼梯，一共要爬n阶，每一次能爬1阶或2阶，问到达n阶总的有多少种方式?
主要考虑最后两步，当走到n-2阶时可以直接走两阶或n-1阶时再走一阶，同理，若想得到n-2阶的方法数，则需要n-3阶和n-4阶相加，以此类推，故总的情况为：
Sn=Sn-1+Sn-2，其中S1=1，S2=2。
2. 母题展示
8级台阶，每次可以登上1级或2级，请问共有多少种走法?
【中公解析】：要到达第8阶，那么要么就是通过7阶到达要么经过6阶到达，也就是说可以通过6阶的方法数与7阶的方法数相加得到，同理，若想得到6阶的方法数，则需要4阶和5阶相加，所以走第n阶的方法数就是Sn=Sn-1+Sn-2，其中S1=1，S2=2。列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 |
具体解题时，首先要分析出递推公式，求出前几项，列表即可得到所求值。
3. 变形
【例1】一条河宽5米，一只青蛙每次条0.5米或1米，问青蛙跳过这条河总的有多少种方式?
A.72 B. 89 C.95 D.107
【中公解析】B。把5米看成10级台阶，0.5米相当于走1级，1米相当于每次走2级，故有Sn=Sn-1+Sn-2且S1=1，S2=2，列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 |
| 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
故选B。
【例2】共有10颗糖。
① 每次可以吃1颗或2颗或3颗，请问共有多少种吃法?
② 每次可以吃1颗或3颗，请问共有多少种吃法?
③ 每次可以至少吃1颗，请问共有多少种吃法?
A.28 B.164 C.274 D.512
【中公解析】①C，②A，③D。
①每次只能吃1颗或2颗或3颗，故要吃完10颗可能先吃了7颗、8颗或9颗，以此类推有Sn=Sn-1+Sn-2+Sn-3且S1=1，S2=2，S2=4，列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 |
| 1 | 2 | 4 | 7 | 13 | 24 | 44 | 81 | 149 | 274 |
故选C。
②每次只能吃1颗或3颗，故吃完10颗可能先吃了7颗或9颗，以此类推有Sn=Sn-1+Sn-3且S1=1，S2=1，S3=2，列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 | 13 | 19 | 28 |
故选A。
③每次至少吃1颗，故根据题意有Sn=Sn-1+Sn-2+……+S2+S1+1且S1=1列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 |
| 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 |
另解：由于每个台阶到达与否有两种情况，且最后一个台阶必到达，故总的为2(10-1)=512种走法。
故选D。
【例3】有12级台阶。
① 每次至少走1级或3级，若不能经过第6级，走完此楼梯共有多少种方法?
② 每次至少走1级或3级，若必须经过第6级，走完此楼梯共有多少种方法?
③ 每次至少走1级或3级，若必须经过第6级，不能通过第7级，走完此楼梯共有多少种方法?
【中公解析】①根据题意有Sn=Sn-1+Sn-3且S1=1，S2=1，S3=2，由于不能经过第6级，故S6=0。列表如图所示
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 | S11 | S12 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 3 | 7 | 7 | 10 | 17 | 24 |
②根据题意有Sn=Sn-1+Sn-3且S1=1，S2=1，S3=2，由于必须经过第6级，故到第6级不能跳过，即S7不能越过S6直接由S4跳三级、S8不能越过S6直接由S5跳三级。列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 | S11 | S12 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 36 |
③根据题意有Sn=Sn-1+Sn-3且S1=1，S2=1，S3=2，列表如图所示。
| S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 | S7 | S8 | S9 | S10 | S11 | S12 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 12 |
【例4】有20个苹果，每次可以取出1~4个，但每次取过后剩下的不能是3或4的倍数，有多少种取法?
【中公解析】根据题意Sn=Sn-1+Sn-2+Sn-3+Sn-4，其中有些情况数为0，具体情况列表如图所示。
| 取出数n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 剩余数(20-n) | 19 | 18 | 17 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 |
| 方法数 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | 4 | 6 |
| 取出数n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 剩余数(20-n) | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 方法数 | 0 | 0 | 10 | 0 | 10 | 0 | 0 | 10 | 20 | 30 |
【例5】有14个苹果，每次随机取，但每次取过后剩下的不能是3或4的倍数，有多少种取法?
【中公解析】转化为走楼梯模型。根据题意剩余级数为12、9、8、6、4、3不能达到，14级必到，还有14-6-1=7级有到与不到两种情况，故为27=128种情况。
走楼梯模型的题目在事业单位考试中比较常见，了解其特征，熟悉其解法，考试中如果遇到，能让大家做到事半功倍的效果。
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