均值不等式求极值的原理证明(均值不等式求极限)

在行测数量关系中常见的极值问题里，有一类是一元二次函数求最值，相信大家都是能够根据题意列出式子，难点就在于解这个式子，常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答，这个过程就会显得慢而且计算量偏大，所以今天中公教育专家就给大家介绍运用均值不等式来进行求解。

一、 什么是极值问题

极值问题顾名思义，就是求极大值和极小值的问题，就是当题干或者问法中出现最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼时，那就是极值问题。

二、 均值不等式

1. 什么是均值不等式

2. 均值不等式的应用

三、 经典例题

【例题1】 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是(　　)。

A.144 B.136 C.128 D.142

【中公解析】A。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数，可知此题属于极值问题，根据题意，可设每套坐垫减价2x元，那么就会多订购6x套，利润为y，得：

y =(200-2x-144)x(120+6x)，化简得：y =(56-2x)x(120+6x)，要求y最大时的x，可以把(56-2x)看成一个整体a，(120+6x)看成一个整体b，就相当于求ab的最大值，根据均值不等式推论可知，当两个数的和一定，这两个数的积最大，所以去找到(56-2x)与(120+6x)的和一定即可，因为x的系数不同，所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定，所以可将(56-2x)提一个2，(120+6x)提一个6出来，让x的系数都为1，所以y =(56-2x)x(120+6x)=2 x(28-x)x 6 x(20+x)，既原式变为y=12(28-x)(20+x),根据均值不等式和一定积最大，当且仅当(28-x)=(20+x)取等号，所以28-x=20+x得出x=4，既当坐垫降价8元时，能获得最大利润，所求获得最大利润售出套数为120+6x4=144，选A。

【例题2】某报刊以每本2元价格发行,可发行10万份,若该报刊单价提高0.2元,发行量减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

【中公解析】D。题目求报刊的最大销售收入属于极值问题，设报刊单价提高了0.2x，那么发行量为10000-5000x，销售收入为y，根据题意得：y=(2+0.2x)(10000-5000x)，化简原式得y=0.2x(10+x)x5000x(20-x)=1000x(10+x)(20-x)，根据均值不等式，当且仅当10+x=20-x时取等号，所以x=5，带入式子的y=1000x15x15=225000元=22.5万元，选D。

【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?

A.155元 B.165元 C.175元 D.185元

【中公解析】D。题目所求为日租金为多少是，日收益最大，属于极值问题。设日租金增加5x元，那么未租出的汽车多4x辆，日收益为y，根据题意可得：

y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)，化简得y=20(16+x)(50-x)，根据均值不等式，当且仅当16+x=50-x时，取等号，所以x=17，既当x=17时，日收益最大，也就是当日租金为100+5x17=185时，日收益最大，选D。

中公教育专家提醒大家，利用均值不等式解极值问题时，首先要判断是否属于极值问题，然后根据题目列式，观察式子是否一元二次函数，若是最后采用均值不等式进行求解x或者进一步求解y，常用到均值不等式的和一定、积最大来进行求解。

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