数量关系余数定理(行测余数问题的公式)

公务员考试行测数学运算题中有一类问题，被称为“余数问题”。老师介绍，常见的出题方式为：给出条件，假定某个数满足除以a余x，除以b余y，除以c余z，其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数是多少（有几个）。而对于解决这类问题常采用枚举法和代入排除法两种，但效率并不是很高，国家公务员考试网在此列举一些处理这类问题的特殊方法。

类别一：特殊余数问题

1、条件：余数相同

思路：除数的最小公倍数+余数

【例1】

三位数的自然数P满足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，则以下符合条件的自然数P是（ ）。

A.120 B.122 C.121 D.123

【国家公务员考试网解析】

根据题目条件余数相同，均为余2，而4,5,6的最小公倍数为60，因此数P满足：P=60n+2 ，（n=0,1,2,3……），而当n=2时，P=122，故答案为B。

2、条件：除数和余数的和相同

思路：除数的最小公倍数+和（除数加余数的和）

【例2】

三位数的自然数P满足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，则符合条件的自然数P有多少个?（ ）

A.3 B.2 C.4 D.5

【国家公务员考试网解析】

根据题设，发现除数与余数的和相加均为8，而5,6,7的最小公倍数为210，所以数P满足P=210n+8(n=0,1,2……)，而在100至999以内满足条件的自然数有218，428，638，848四个数，故答案为C。

3、条件：除数和余数之差相同

思路：除数的最小公倍数-差（除数减余数的差）

【例3】

某校三年级学生进行排队，发现每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，问这个年级至少有多少人?（ ）

A.206 B.202 C.237 D.302

【国家公务员考试网解析】

观察题干可发现，除数与余数的差均为4，又5,6,7的最小公倍数为210，所以数P满足P=210n-4（n=1,2,3……），当n=1时，P为206，故答案为A。另外，本题可采取代入排除法直接验算，也能快速得到答案。

类别二：一般余数问题

有时候遇到的余数并不满足以上所有条件，这类问题比以上问题更为麻烦一些，解决它们的一般思路是求出满足题干中两个条件的通项公式，再利用同余特性加以解决。举例如下：

【例4】

自然数P同时满足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求满足这样条件的三位数共有多少个?（ ）

A.10 B.11 C.12 D.13

【国家公务员考试网解析】

此题为一般余数问题，考虑先取其中两个条件，“除以3余1，除以4余3”，则P=4n+3=3a+1，如果等式两边同时除以3，则左边的余数为n，右边的余数为1，即n=1；故同时满足上述两个条件的最小数为7，则通项为P=12n+7……①；再将①式所得的条件与“除以7余4”的条件结合，即满足题干三个条件的数P=12n+7=7b+4，如果等式两边同时除以7，则左边余5n，右边余4，右边也可认为余25，得到5n=25，n=5，代入①式，得P=67。则满足题干三个条件的数的通项为P=84n+67(n=0,1,2,3……)，根据100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，则符合条件的数共有11个，故答案为B。

结语：通过以上分析，相信考生对于余数问题有了清晰的思路，那么以后遇到余数问题就能从容解决了。话说回来，如果题目能直接代入排除的，采用代入排除法也不失为一种好的方法。

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