数量关系中的容斥问题(数量关系中容斥原理公式)

容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。

两集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B。 如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和=A类元素个数+属于B类元素个数-既属于A类又属于B类的元素个数。孩子如果还是很难搞清这些关系，那么家长可以用文氏图来给孩子讲解，直观很多。

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-既是A类又是B类元素的个数-既是B类又是C类元素的个数-既是A类又是C类元素的个数+同时是A类B类C类元素的个数。

特殊的容斥关系公式：I-M=A+B+C-D-2E

【例1】 篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给13人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有9个人拿到了苹果，有8人拿到了梨，最后全部分完。那么，有( )人只拿到了苹果。

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】B

【解题思路】

第一步，本题考查容斥问题中二集合容斥问题。

第二步，根据二集合容斥问题公式，可得9+8−13=4，表示有4个人两种水果都拿到了，那么只拿苹果的有9−4=5人。因此，选择B选项。

【例2】 有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有( )种

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

E. 18 F. 19 G. 20 H. 21

【答案】E

【解题思路】

第一步，本题考查容斥问题中的三集合标准型容斥原理。

第二步，按照三集合标准型容斥原理公式，直接设三种食品添加剂都不达标的为x种，列出方程：68+77+59-54-43-35+30+x=120，解得x=18。因此，选择E选项。

【拓展】三集合标准公式：(表示都满足，表示都不满足)

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