公约数试题(公约数的应用题)

一.概念

公倍数(common multiple)是指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数。

二.求解方法

质因数分解

把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例如：求6和15的最小公倍数。先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。

短除法

求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商两两互质为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。短除法的本质就是质因数分解法，只是将质因数分解用短除符号来进行。

短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止(两个数互质)。

三.应用

有一些砖,长宽高分别是15cm、12cm、6cm,请问怎样摆,摆成最小正方体边长为多少厘米?

解：15、12、6的最小公倍数是60,所以最小的正方体棱长为60

例题：求1085和1178的最大公约数。

答案：31。【解析】1085=5×217=5×7×31，1178=31×38=31×2×19。

所以最大公约数为31

例题：桌子上放有三根绳子，长度分别是120厘米、160厘米、240厘米，现在要把它们截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段?( )

A.13 B.12 C.11 D.10

答案：A。解析： “截成相等的小段，每段都不能有剩余”，即为求三数的公约数，“最少可截成多少段”，进一步引导你求出最大公约数。每小段的长度是120、160、240的约数，即是120、160和240的公约数。120、160和240的最大公约数是40，所以每小段的长度最大是40厘米，一共可截成3+4+6=13段。所以，选择答案A。

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