数量关系不定方程问题(解方程用数量关系怎么解)

【导读】

中公事业单位为帮助各位考生顺利通过事业单位招聘考试！今天为大家带来数量关系：行测备考：另解不定方程。

2020事业单位考试即将来临，备考中，经常会遇到一种题型“不定方程”，有些题目用一些常用的方法，如“奇偶性、代入排除等”不易得出答案，那么有没有一种好的方法能快速排除选项确定答案呢？在本篇文章中，我们一起携手中公教育研究与辅导专家来学习怎样用同余特性解不定方程。

一、基本知识

1.不定方程的含义

未知数的个数大于独立方程的个数（独立方程：指不能通过其他方程线性组合得到的方程）。例如：7x+8y=111与14x+16y=222就不是两个独立的方程，因为第二个方程是由第一个方程同比例变化2倍所得到。

余数①负余数=最小正余数-除数。如：7÷5=1……2，2为7的最小正余数，所以7除以5的负余数为-3，换言之，7÷5=2……-3。

②同余系：几个正整数除以同一个正整数所得的余数相同，则这几个正整数就是这个除数的同余系。例：除以5余1的数有：1、6、11、16、21、26……，这些数为5的同余系。（思考：除7余2的同余系是哪些数？）

3.同余特性

（1）余数的和（差）决定了和（差）的余数；

例如①：36 + 43 = 79

↓÷5余

1 + 3 → 4；

②：39 + 43 = 82

↓÷5 余

4 + 3 → 2；

4+3=7，7除以5还是余2，原理为7和82是属于5的同余系。

（2）余数的积决定了积的余数。

例如： 12 × 13 = 156

↓÷5余

2 × 3 → 1；

2×3=6，6除以5余1，6与156是属于5的同余系。

（3）一个未知数除以任何一个正整数的余数都是它本身。例如：x除以7的余数即为x。

二、解不定方程

1.核心：利用同余特性消元。

2.技巧：A.消一个未知数，除以所消的未知数前面的系数；B.消多个未知数，除以它们系数的最大公约数。

【例题1】7x+8y=111，x、y均为正整数，求y为多少？

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】B。中公解析：想要求y应该消掉x，如果从方程本身考虑，需要减掉7x，但是这样并没有用。此时大家是否还记得同余特性？如果能够整除，余数就是0，是不是可以尝试在余数中消掉x？要想使7x除以一个数，余数为0，直接除以x前面的系数7就可以了，此时来观察一下，左右两边同时除以7之后的一个余数关系：

7x +8y =111

↓÷7余

0 + 1*y → 6；

7x除以7余数为0，8y除以7余数为1×y=y，111除以7余数为6，根据余数的和决定和的余数，所以y除以7的余数也是6，综合选项y=6。

【例题2】7x+8y=111，x、y均为正整数，求x为多少？

A.6B.7C.8D.9

【答案】D。中公解析：此时求x，则应该把y消掉，式子两边除以y前面的系数8，

7x +8y =111

↓÷8余

7*x + 0 → 7；

7x除以8余数为7x，8y除以8余数为0，111除以8余数为7，根据余数的和决定和的余数，所以7x除以8的余数也是7，综合选项x=9。

【例题3】7x+8y=111，x、y均为正整数，求x-y=为多少？

A.2B.3C.4D.5

【答案】B。中公解析：想要求x-y，应该消掉6个x和9个y，消6x就应除以6，消9y应除以9，同时消6x、9y应除以6和9的最大公约数3，观察其关系式：

7x + 8y = 111

↓÷3余

x +（-1）*y → 0；

所以，x-y除以3余数为0，综合选项，答案选B。

【例题4】6x+15y+z=60，x、y、z为正整数，求z为多少？

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B。中公解析：想要求z应该消掉6个x和15个y，消6x应除以6，消15y应除以15，同时消6x、15y应除以6和15的最大公约数3，观察其关系式：

6x+15y+z=60

↓÷3余

0 + 0 + z → 0；

所以，z除以3余数为0，综合选项，答案选B。

总结：解不定方程，目的就是为了消元，在做题过程中，多观察一下未知数前面系数的关系，利用同余特性，结合选项，锁定答案。

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