容斥原理画图法(容斥原理标准型)

容斥原理是在高中时候所学到的集合问题，虽然整个知识体系不是很宏大，但是解题方法很具有通用性和技巧性。具体来说，就是所有的充斥原理都可以用公式法来做，而所有的容斥原理也都可以用图示法来做。公式法抽象，但省时间；图示法简单易懂，但可能在某些题目里面用的时间会多一些，需要考生在学习的时候具体斟酌使用。本文将着重为大家讲述如何用图示标数法来做有关容斥原理的题型。

计数时保证无遗漏，无重复，这就是容斥原理，其主要工作是排斥掉重复计算的部分。如两集合容斥原理的公式中减去A∩B，是因为AB两个集合交集被重复计算一次。解决容斥原理主要工具是文氏图。

文氏图又称韦恩图，是19世纪中期剑桥大学教员约翰·韦恩发明的将逻辑关系可视化的示意图。从文氏图可清晰地看出集合间的逻辑关系、重复计算的次数，最适合描述3个集合的情况。因为容斥原理的两种题型为两集合容斥原理与三集合容斥原理。而在近几年的考试当中，三集合容斥原理相对来说考到的更多，因此我们着重选择三集合以及多集合容斥原理来讲述如何用图示法来做。

【例1】　某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？

A.34 B.35

C.36 D.37

【解析】画出文氏图。低温柔度、可溶物含量、接缝剪切性能不合格的一共有8+10+9=27种。在上述计算中，两项不合格的产品被重复计算了一次，三项不合格的产品被重复计算了2次。应用容斥原理，不合格的产品共有27-1×7-2×1=18种，合格的有52-18=34种。选A选项。

在一些文氏图画法（即集合间逻辑关系）不确定的题目中，会问某个集合至少（或至多）为多少。这类题目通常从问题的对立面考虑，对代表集合的圈图进行排列组合。由于问的是某种极端情况，所以我们主要考虑集合间位置关系的两种极端情况。

左图对应的是3个集合覆盖面积最多的情况，右图是3个集合覆盖面最少的情况。

【例2】某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是（）？

A. 40% B. 30%

C. 20% D. 10%

【解析】问四次考试90分以上的学生至少有多少，相当于问至少有一次90分以下的学生至多有多少。第一次考试有30%的学生90分以下，第二次考试有25%，第三次考试有15%，第四次有10%。如果剪出4个纸片，每个纸片的面积对应单次考试未达90分的学生比例，显然当这些纸片互不重叠时总人数最多。即至少有一次考90分一下的学生最多为30%+25%+15%+10%=80%，四次考试中都得90分以上的学生至少为20%。选C选项。

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