同余特性求解不定方程(如何用同余解不定方程)

在行测数量关系中，数量关系让很多考生望而却步，在此中公教育将其中难度较高的不定方程类题目的技巧进行讲解。

一、认识什么是不定方程

未知数的个数大于独立方程的个数，例如3a+5b=82。那什么是独立方程，指的是“不能通过未知数系数变化变成同一个方程的，就是独立方程，如果能通过未知数系数变化变成同一个方程的，那就是同一个方程”，例如3a+5b=82，与6a+10b=164。这个方程组其实就是一个方程，满足两个未知数的系数，大于方程的个数，是不定方程。今天中公教育主要就是带着大家来思考和学习一下如何去求解这些不定方程，理论上对于不定方程会有无数组解，但是在考试题目中，都会隐藏一个条件，就是两个解都是正整数，我们探究的还是如何去求正整数解。

二、同余特性两条性质：

余数的和决定和的余数;余数的积决定积的余数。什么意思呢，就是说两个数余数的和加起来会与这个两个数和的余数相同;两个数余数的积会与这两个数积的余数相同。

三、例题展示

例1：已知a、b均为正整数，求4a+5b=54中a为多少?

A.11 B.10 C.9 D.8

【中公解析】答案A。要想求出a，根据我们以往的思想肯定得消元，消掉其中一个未知数，直接俄消除不可能，这样我们就可以根据同于特性来构造另一个方程，我们就要把这里边的另一个未知数5b消掉，那么，除以5才能把其消掉。我们先来看除以5这种情况:5b ÷5余数是0，54÷5余数也是4，利用同余特性余数的和决定和的余数，4a÷5余数应为4，再利用余数的积决定积的余数，就得到了a÷5余4。当a=1、6、11时，b=10、6、2。结合选项，所以a正确取值为11。答案A。

例2：7a+8b=135，已知a，b为正整数，且a>b，则a-b=( )

A.12 B.13 C.14 D.15

【中公解析】答案D。求a的值，就要消掉8b这一项。8b除以8余0 ,而135÷8余7，利用同余特性余数的和决定和的余数， 7a÷8余数为7，再利用余数的积决定积的余数，得到a÷8余1。求b的值就要消掉7a，7a ÷7余数为零，135÷7余数为2，根据同余特性余数的和决定和的余数，8b ÷7余数为2，再利用余数的积决定积的余数，我们得到b÷7余数为2。那么先来看a，正整数范围内第一个÷8余数为1的数，而题干要求a大于b，而1是最小的正整数，因此a不能等于1 。下一个÷8余1的数为9，再来看b，正整数范围内第一个除以7余2的数是2，但此时a=9，b=2并不满足方程。所以a再取÷8余1为17，若b=2，此时刚好满足方程且a>b。此时a-b等于15,选择D。

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