均值不等式应用题例题(数学均值不等式例题)

提到极值问题大家其实并不陌生，在近几年行测数量关系中频繁考察，这类题目可考察的题型比较多，各有特点。今天中公教育专家就给大家讲解一下极值问题当中的一种题型：利用均值不等式求函数极值。

一、什么是均值不等式

均值不等式的使用条件：

一正：数字首先要都大于零，两数为正;

二定：数字之间通过加和或乘积有定值出现;

三相等：检验等号是不是取得到(当且仅当两数相等时等号成立)。

二、均值不等式的推论

推论1：当正实数a、b的和为定值时，当且仅当a=b时，a与b的乘积可取到最大值。

推论2：当正实数a、b的乘积为定值时，当且仅当a=b时，a与b的和可取到最小值。

三、均值不等式的应用

例1：某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

A.60 B.80 C.90 D.100

【中公解析】总收入=售价×销量。设最佳定价在4元每株的基础上提高0.4x元，则销量会在20万株的基础上少卖x万株。则收入可表示为(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)要想使收入最大，即(10+x)×(20-x)的乘积最大。又因为(10+x)+(20-x)=30，即(10+x)与(20-x)的和一定，当且仅当10+x=20-x=15时，(10+x)×(20-x)取到最大值：15×15=225，故公司最大收入为0.4×225=90万元。选择C。

例2：某村民要在屋顶建造一个长方体无盖贮水池，如果池底每平方米的造价为160元，池壁每平方米的造价为100元，那么要造一个深为4米容积为16立方米的无盖贮水池最低造价是多少元?

A.3980 B.3560 C.3270 D.3840

【中公解析】水池造价=池地造价+池壁造价。水池深4米、容积16米，设长和宽分别为a、b，池底面积ab=16÷4=4平方米，池壁面积为2×(4a+4b)。因此水池造价为：4×160+2×(4a+4b)×100=640+800×(a+b)。要求水池最低造价，即求a+b的最小值。a、b的乘积一定为4，和a+b可取得最小值，当且仅当a=b=2时取到。因此，最低造价为640+800×(2+2)=640+3200=3840元。选择D。

综上，应用均值不等式解极值问题，主要是对其推论的应用，难度也不大。中公教育专家建议各位考生需要结合上述两道例题进行学习，并将此方法熟练掌握。

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