数量关系极值问题(公考极值问题)

所谓的和定最值，就是题目中给出几个值的总和，求其中某一值的最大值或者最小值。那么我们解题的核心思想就是，和一定，求最大值则其他值尽可能地小;反之，求最小值则其他值尽可能地大。华图小编总结，考试中常考的和定最值问题可以分为以下三种类型：

一 同向和定最值

所谓同向和定最值，即求最大值的最大值是多少或者最小值的最小值是多少。

解题方法——列举法，即将其他值一一按要求进行列举即可。

例1 江左盟主偶得21颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，那么得到夜明珠最多的皇上最多可以得到几颗?

解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最多者最多有几颗，是同向的和定最值问题，因此，可用列举法。想要求最大值，则其他值要尽可能地小，因此得最少的人最少为1颗，第四多的最少为2颗，以此类推可得：

皇上 第二多 第三多 第四多 最少

? 4 3 2 1

因此，皇上最多可得：21-1-2-3-4=11颗

例2 江左盟主偶得36颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，已知皇上获得最多的夜明珠为10颗，那么得到夜明珠最少的静妃最少可以得到几颗?

解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最少者最少有几颗，是同向的和定最值问题，因此，也可用列举法。想要求最小值，则其他值要尽可能地大，而皇上最大为10颗，则第二多最大为9颗，以此类推可得：

皇上 第二多 第三多 第四多 静妃

二 逆向和定最值

所谓逆向和定最值，即求最大值的最小值是多少或者最小值的最大值是多少。

解题方法——求平均数法，即将总数求平均值再分配余数

例1 江左盟主偶得21颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，那么得到夜明珠最多的皇上最少可以得到几颗?

解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠最多者最少有几颗，是逆向的和定最值问题，因此，可用求平均数法。先求出21÷5=4……1，再将平均数4写在最中间即第三多的下面，并推出其他几个值分别为：

皇上 第二多 第三多 第四多 最少

6 5 4 3 2

6+1=7

然后分配余数1，这1颗只能分配给最多的皇上，若分配给其他人则不满足题意(每人所得夜明珠数量均不相等)，因此，皇上最少可得：6+1=7颗

若将此题目中总数21改为22，则22÷5=4……2，同样将平均数4写在最中间即第三多的下面，并推出其他几个值分别为：

皇上 第二多 第三多 第四多 最少

6 5 4 3 2

6+1=7 5+1=6

然后分配余数2，2可以分别分配给皇上及第二多各1个，因此，皇上最少可得仍然为：6+1=7颗

因此，在解决逆向和定最值问题时，余数的合理分配非常重要，考试时要谨慎对待。

10 9 8 7 ?

三 混合和定最值

所谓混合和定最值，即求第n大值的最小值是多少或者最大值是多少。

解题方法——先列举再求平均，即先将可以列举的列举出来再对剩下的运用求平均数法。

例1 江左盟主偶得36颗夜明珠，于是他决定将这些夜明珠进献给皇上、太子、靖王、皇后、静妃5人，而且每人所得夜明珠数量均不相等，求得夜明珠数第三多的靖王最多得几颗?

解析：首先通过题意判断夜明珠总数一定，求得夜明珠第三多的靖王最多得多少，是混合的和定最值问题，因此，先用列举法。想要求最大值，则其他值要尽可能地小，因此最少和第四多的分别可为1和2，而剩下的33颗分给前三名，运用求平均数法，33÷3=11，将平均数11写在第二多下面，可得：

最多 第二多 靖王 第四多 最少

12 11 10 2 1

因此，靖王最多可得10颗。

通过此题可发现，所谓的混合和定最值问题即将同向和定最值和逆向的和定最值混合在一起了。对于此题中的靖王，他与后两名在一起，就是求最大值最多是多少，因此是同向的，运用列举法。而他与前两名在一起，就是求最小值最多是多少，因此是逆向的，运用求平均数法即可。总的来说，在解决混合的和定最值时，要先判断出同向的部分，列举出来，再将逆向的部分运用求平均数法解题即可。

综上所述，在和定最值的解题中，先判断是同向、逆向还是混合，再分别运用对应的方法求解即可。希望大家通过这次学习，在省考中面临和定最值问题时都能势如破竹，成为省考的“琅琊榜”之最。

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