概率论与数理统计参数估计(概率论参数估计难吗)

(1)点估计

矩估计

假设总体的分布也假设为总体X的n个样本值，样本的k阶原点矩为

这样，我们根据“当参数等于其估计量时，总体矩等于对应的样本矩”的原理建立方程，即有

从上面的m个方程中，求解的m个未知参数是参数()的矩估计量。

如果是的矩估计，且是连续函数，则是的矩估计。

最大似然估计

当总体X是连续随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。也被设置为总体的样本，称为

是样本的似然函数，缩写为Ln。

当总体X为off型随机变量时，假设其分布规律为，则称为

是样本的似然函数。

如果似然函数在处达到最大值，则称为最大似然估计量，相应的统计量称为最大似然估计量。

如果是的最大似然估计，并且是单调函数，则是的最大似然估计。

(2) 估算师的选择标准

公正性

让为未知参数的估计量。如果E()=，则称为无偏估计量。

E()=E(X), E(S2)=D(X)

效力

让和成为未知参数的两个无偏估计量。如果，据说是有效的。

一致性

设为一串估计量，如果对于任意正数，有

称为一致估计器（或一致估计器）。

如果是的无偏估计，则是的一致估计。

只要总体E(X)和D(X)存在，所有样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

(3)区间估计

置信区间和置信水平

假设总体X 包含待估计的未知参数。如果我们从样本开始，找到两个统计量，使得区间包含要概率估计的参数，即

那么这个区间就称为置信区间，以及该区间的置信度（或置信水平）。

单个正态总体的期望和方差的区间估计

作为总体样本，置信水平为，让我们确定置信区间。具体步骤如下：

(i) 选择样本函数；

(ii) 根据置信度查表找出分位数；

(iii) 推导置信区间。

已知方差，估计平均值

(i) 选择样本函数

(ii) 查表找出分位数

(iii) 推导置信区间

未知方差，估计平均值

(i) 选择样本函数

(ii) 查表找出分位数

(iii) 推导置信区间

方差区间估计

(i) 选择样本函数

(ii) 查表找出分位数

(iii) 推导的置信区间

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