多元函数微分学的公式(多元函数微分法则)

2019年研究生入学考试笔试也已结束。对于想要参加2020年考研的同学来说，也已经开始加入战斗。考研准备起步早或晚，有的基础不好或者需要冲刺。名校的考生会选择在大三第一学期甚至更早的时候开始备考。在这个阶段，是时候开始基础复习了。下面，小编整理了2020年考研和高等数学考试前你需要了解的公式和定理，供大家参考！

多元函数的微分方法及其应用

1.多元函数极限存在的条件。极限的存在意味着当P(x,y)以任何方式逼近P0(x0,y0)时，函数无限接近A。如果P(x,y)在一定范围内逼近P0(x0,y0)特殊的方式，例如，当沿着确定的直线或曲线逼近P0(x0,y0)时，即使函数无限接近某个值，我们也不能断定函数存在极限。反之，如果当P(x,y)以不同方式逼近P0(x0,y0)时函数趋向于不同的值，那么可以得出这个函数的极限不存在的结论。例如函数：f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^20

2.多元函数的连续性定义假设函数f(x,y)定义在开区域(或闭区域)D内，P0(x0,y0)为D的内点或边界点，且P0D，若lim (xx0, yy0)f(x,y)=f(x0,y0)，则称f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

性质（最大值和最小值定理）有界闭区域D 上的多元连续函数必须在D 上具有最大值和最小值。

性质（中值定理）有界闭区域D上的多元连续函数，如果它在D上获得两个不同的函数值，那么它在D上获得这两个值之间的任意值至少一次。

3.多元函数的连续性和可微性。如果一变量函数在某一点有导数，则该函数在该点必定连续。然而，对于多元函数，即使每个偏导数都存在于某一点，也不能保证该函数将在该点。连续的。这是因为各偏导数的存在性只能保证当点P沿平行于坐标轴的方向逼近P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P以任何方式接近P0。函数值f(P)趋于f(P0)。

4. 多元函数可微的必要条件。一变量函数在某一点的导数的存在是微分存在的充要条件。但多元函数偏导数的存在只是全微分存在的必要条件，而非充分条件，即可微=可偏导。

5. 多元函数可微的充分条件定理（充分条件） 如果函数z=f(x, y) 的偏导数存在且在点(x, y) 处连续，则函数在该点可微观点。

6、多元函数极值存在的充要条件定理（必要条件）。假设函数z=f(x, y) 在点(x0, y0) 处有偏导数，在点(x0, y0) 处有极值。那么此时它的偏导数必定为零。

定理（充分条件） 假设函数z=f(x, y) 在点(x0, y0) 的某个邻域内连续且具有一阶和二阶连续偏导数，且fx(x0, y0)=0, fy(x0 , y0)=0,令fxx(x0, y0)=0=A, fxy(x0, y0)=B, fyy(x0, y0)=C, 则f(x, y)为在点(x0,y0)处取极值的条件如下： (1)AC-B20时有极值，A0时有极小值； (2)AC-B2

7、多元函数极值存在性的解（1）求解方程组fx(x,y)=0、fy(x,y)=0的所有实数解，即可找到所有驻点。

(2) 对于每个驻点(x0,y0)，求二阶偏导数的值A、B、C。 (3)确定AC-B2的符号，根据充分条件确定f(x0，y0)是最大值还是最小值。

注意：在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果存在不存在偏导数的点，也应考虑这些点。

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