排列组合中插板法应如何使用(排列组合的插板法什么意思)

在排列组合中，我们会经常遇到这样一类题目，将若干个完全一样的东西分成若干组，每组至少一个，这个时候我们该如何解决呢?

例如，将三个完全一样的橘子分给两个小朋友，每人至少一个该如何分呢?A一个，B两个，或者相反，所以是两种分法。我们可以用三个圈代表橘子，分成两组的话，只需要在中间的两个空里面插一个板子就可以了。如下图所示，所以有C1 2=2种分法。

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如果四个完全一样的橘子，分成两组，每组至少一个呢?四个橘子之间有三个空，分成两组只需要在3个空里面插入一个板子即可，所以有C1 3=3种分法。

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如果将四个完全一样的橘子，分成三组，每组至少一个呢?四个橘子之间有三个空，分成三组需要两个板子，则为C2 3=3种分法。

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所以将m个完全一样的东西，分成n组，每组至少一个，则有Cn-1 m-1种分法。

【例】将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有几种分配方法?( )

A. 14 B. 18

C. 20 D. 22

【解析】m个相同的物品分给n个人，m≥n时，每人至少分一个有Cn-1 m-1种分法;因此本题中共计有C3 6=20 种，选择C。

也许有同学有这样的疑问，如果没有说每人至少一个该怎么办呢，例如上题中，如果说将10个橘子分给4个小朋友，每人至少两个，该如何分呢?那我们就先给每个小朋友一个橘子，剩下的橘子再分给四个小朋友每人至少一个就可以了。10-4=6，将6个完全一样的橘子再分给4个小朋友，每个人至少得到一个就可以了，接下来就转变为隔板法的做法。

【例】单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法?( )

A. 12 B. 10

C. 9 D. 7

【答案】B

【解析】插板法。首先每个部门分8 份，剩下30-24=6 份的分配方法种数实际相当于在6 份的5 个间隔插入两个板子。即为C2 5=10。

相信通过以上的讲解，大家可以高效地解决将如干个完全一样的东西分成若干组，每组至少一个的解决办法。

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