考研高等数学知识点汇总(考研数学高等数学超解读)

高等数学是研究生数学考试的一部分。其中包含很多考生需要记忆的重要概念、公式等。以下是2019考研高等数学部分需要记住的38个知识点。您可以参考他们进行审查。

1. 函数极限连续性

1.正确理解函数的概念，理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数和隐函数的概念。

2.理解极限的概念、函数的左极限、右极限的概念，以及极限的存在性与左极限、右极限的关系。掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷小和无穷小阶的概念，并能够用等价的无穷小求极限。

3. 理解函数连续性的概念，能够识别函数不连续性的类型。理解初等函数的连续性和连续函数在闭区间上的性质（最大值、最小值和中间值定理），并能够应用这些性质。重点是序列极限和函数极限的概念，两个重要的极限：lim(sinx/x)=1，lim(1+1/x)=e，连续函数的概念以及连续函数在闭上的性质间隔。困难在于分段函数、复合函数、极限的概念以及用于通过定义证明极限的方程。

2.一变量函数的微分计算

1. 理解导数和微分的概念，导数的几何意义，能够求平面曲线的正切方程，理解函数的可微性和连续性的关系。

2.掌握导数的四种算术规则和一阶微分的形式不变性。理解高阶导数的概念，能够求简单函数的n阶导数和分段函数的一阶、二阶导数。能够求出隐函数和参数方程确定的函数的一阶导数和二阶导数以及反函数的导数。

3.理解并能够使用罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，理解并能够使用柯西中值定理。

4.了解函数极值的概念，掌握函数最大值、最小值的方法和简单应用，能够利用导数判断函数的凹性和拐点，能够求水平函数图的垂直和倾斜渐近线。

5.理解曲率和曲率半径的概念，能够计算曲率、曲率半径和两条曲线的交角。

6.掌握利用罗贝塔法则求未定式极限的方法，重点学习导数和微分的概念，平面曲线正切函数和正规方程函数的可微性和连续性的关系，一阶的不一致性微分形式。变异性，分段函数的导数。罗贝塔规则函数的极值、最大值、最小值的概念及其求法，函数凹凸性的判定及求拐点的方法。难点在于复合函数求导规则的隐函数以及参数方程确定的函数一阶、二阶导数的计算。

3. 单变量函数积分

1.理解原函数、不定积分和定积分的概念。

2.掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质以及定积分的中值定理，掌握代换积分法和分部积分法。

3. 能够求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分。

4.理解变上限积分定义的函数，能够求其导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。

5.理解广义积分的概念，能够计算广义积分。

6.掌握利用定积分计算一些几何物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和边面积、物体的面积）平行截面是已知的三维体积，受变力、重力、压力等作用。）重点是原函数和不定积分的概念和性质，基本积分公式以及代入方法和积分积分的分部法，定积分的性质、计算和应用。难点在于第二种元素代换积分法，即分部积分法。积分上限函数及其导数、定积分的元法及定积分的应用。

4.向量代数和空间解析几何

1.理解向量的概念及其表示形式。

2、掌握向量的运算（线性运算、定量乘积、向量乘积、混合乘积），了解两个向量垂直、平行的条件；掌握单位向量、方向数和方向余弦、向量的坐标表达式、坐标表达式进行向量运算的方法。

3.掌握平面方程和直线方程及其方法，并能利用平面与直线的关系解决相关问题。

4.了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程和图形，能够求出以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程和母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、理解空间曲线的参数方程和一般方程；理解空间曲线在坐标平面上的投影，并能够找到它的方程。

5.多元函数的微分学

1.了解二元函数的极限和连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。

2. 了解多元函数的偏导数和全微分的概念，并能求全微分。

3.理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法。

4.掌握求多元复合函数偏导数的方法，能够求隐函数的偏导数。

5.理解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面和法线的概念，掌握二元函数极值存在的充分条件，能够求二元函数的极值，并利用拉格朗日乘子法求条件极值，可以求多元函数的最大值和最小值以及一些简单的应用问题。

重点是二元函数、偏导数和总计的极限和连续性概念。重点是二元函数的极限和连续性的概念、偏导数和全微分的概念以及计算复合函数和隐函数的求导方法、二阶偏导数、方向导数和梯度的概念及其计算。空间曲线的切线和法线、曲面的切线和法线、二元函数的极值。

难点在于多元复合函数的推导方法和二函数的泰勒公式。

6.多元函数的积分

1.了解二重积分和三重积分的概念，了解二重积分的性质。

2.掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，能够计算三重积分（直角坐标、柱坐标、球坐标）。

3.了解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质以及两类曲线积分之间的关系；掌握两类曲线积分的计算方法；掌握格林公式，能够应用平面曲线积分与路径无关的条件。

4.了解两类曲面积分的概念、性质和关系，掌握两类曲面积分的计算方法。

5.能够运用重积分、曲线积分、曲面积分求一些几何物理量。重点是使用直角坐标和极坐标计算二重积分。使用直角坐标、柱坐标和球坐标计算三重积分。两类曲线积分的概念、性质和计算，格林公式。两类曲面积分的概念、性质和计算，高斯公式。难点在于将二重积分转换为二次积分，改变二次积分的积分顺序并计算三重积分。第二类曲面积分和斯托克斯公式。

7.无限系列

1.掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数和p级数的收敛性；掌握比率收敛法，能够运用正数列比较法和根值收敛法。

2. 能够运用莱布尼茨交错级数定理，理解绝对收敛和条件收敛的概念及其关系。

3.能够求出幂级数的和函数以及数值级数之和，掌握求幂级数收敛域的方法。

4、掌握e的x次方、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)的a次方麦克劳林展开式，并用它们间接展开简单函数；能够将定义[-L,L]上的函数展开为傅立叶级数，定义在[-L,L]上的函数将展开为正弦级数和余弦函数。重点介绍数值级数的概念和性质，正级数的收敛方法、交错级数及其收敛方法，绝对收敛和条件收敛的概念。求幂级数的收敛半径和收敛区间，并将函数展开为傅立叶级数。难点在于求出幂级数的和函数，并将该函数展开为幂级数和傅立叶级数。

8.常微分方程

1.理解微分方程及其解、阶数、通解、初始条件和特解等概念；掌握含变量的可分离方程和一阶线性方程的解。

2. 能够运用约简法求解y(n)=f(x)、y=f(x, y)、y=f(y, y’)等方程；了解线性微分方程的性质和解的结构。

3.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，能够求解一些二阶以上常系数齐次线性微分方程。

4. 能够求解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。重点是微分方程、带变量的可分离方程、一阶线性微分方程的解和带常系数的二阶线性微分方程的概念。难点在于从实际问题出发建立微分方程并确定确定解的条件。

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