考研数学总结(考研数学知识总结)

概率论和数理统计初步检验考生对研究随机现象规律性的基本概念、基本理论和基本方法的理解，以及运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

随机事件和概率检验的主要内容是：

(1)事件之间的关系和运算，并利用它们进行概率计算；

（2）概率的定义和性质，利用概率的性质来计算某些事件发生的概率；

(3)经典概念和几何概念；

(4)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、总概率公式和贝叶斯公式计算概率；

（5）事件独立性的概念，利用独立性来计算事件发生的概率；

（6）独立重复实验，计算伯努利一般模型及相关事件概率。

要求考生理解基本概念，能够分析事件结构，正确使用公式，掌握一定技能，熟练计算概率。

随机变量和概率分布检验的主要内容是：

(1)利用分布函数、概率分布或概率密度的定义和性质进行计算；

（2）掌握一些重要随机变量的分布和性质，主要有：（0-1）分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布、均匀分布、指数分布和正态分布，可以进行计算关于事件概率；

(3)能够求出随机变量的函数分布。

(4)求两个随机变量的简单函数的分布，特别是两个独立随机变量之和的分布。

要求考生精通分布函数、边际分布和条件分布的计算，掌握判断独立性的方法并进行相关计算，能够求出两个随机变量函数的分布。

检验随机变量数值特征的主要内容是：

(1)数学期望和方差的定义、性质及计算；

(2)常用随机变量的数学期望和方差；

(3)计算一些随机变量函数的数学期望和方差；

(4)协方差、相关系数、矩的定义、性质及计算；

要求考生精通数学期望、方差的定义、性质和计算，掌握从给定实验中确定随机变量分布的方法，进而计算相关数的特征，能够计算协方差、相关系数和时刻，掌握两种判断方法。不相关随机变量的方法。

大数定律和中心极限定理考察的主要内容是：

(1)切比雪夫不等式；

(2)大数定律；

(3)中心极限定理。

要求考生利用切比雪夫不等式证明相关不等式，并利用中心极限定理对相关事件的概率进行近似计算。

数理统计基本概念考试的主要内容包括：

(1)样本均值、样本方差、样本矩的概念、性质及计算；

(2) 2分布、t分布和F分布的定义、性质和分位数；

(3)某些统计量（特别是正常人群的某些统计量）的分布推导和相关概率的计算。

要求考生精通样本均值和样本方差的性质和计算，并根据2分布、t分布和F分布的定义和性质推导出正态总体的某些统计测量值的分布。

参数估计检验的主要内容有：

(1)求参数的矩估计和最大似然估计；

(2) 判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

(3) 求正态总体参数的置信区间。

要求考生熟练地获得参数的矩估计和最大似然估计并判断无偏性，并能够找到正态总体参数的置信区间。

假设检验检验的重要主要内容有：

(1)正态总体参数的显着性检验；

(2)总体分布假设的2检验。

考生需要对正态总体参数进行显着性检验，并对总体分布假设进行2 检验。

常见题型包括：填空题、选择题、计算题、证明题。测试题的主要类型有：

(1)确定事件之间的关系并对事件进行计算；

（2）利用事件之间的关系进行概率计算；

(3)利用概率的性质证明概率方程或计算概率；

（4）经典概念、几何概念相关的概率计算；

(5)利用加法公式、条件概率公式、乘法公式、总概率公式和贝叶斯公式计算概率；

（六）相关事件的独立性证明和概率计算；

(7) 独立重复实验和伯努利概率类型的计算；

(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率密度的定义和性质来确定未知常数或计算概率；

(9) 从给定的实验中找出随机变量的分布；

（10）利用常见的概率分布（如（0-1）分布、二项式分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）计算概率；

(11)求随机变量函数的分布

(12)确定二维随机变量的分布；

(13)利用二维均匀分布和正态分布计算概率；

(14)求二维随机变量的边际分布和条件分布；

(15)判断随机变量的独立性并计算概率；

(16)求两个独立随机变量函数的分布；

(17)利用随机变量的数学期望和方差的定义、性质和公式，或者利用常见随机变量的数学期望和方差求随机变量的数学期望和方差；

(18)求随机变量函数的数学期望；

(19)求两个随机变量的协方差和相关系数并确定相关性；

(20)求随机变量的矩和协方差矩阵；

(21)利用切比雪夫不等式推导出概率不等式；

(22)利用中心极限定理近似概率计算；

(23)利用t分布、2分布、F分布的定义和性质推导统计量的分布和性质；

（24）推导出某些统计数据（特别是正常人口统计数据）的分布；

(25)计算统计概率；

(26)求总体分布中未知参数的矩估计量和最大似然估计量；

(27) 判断估计量的无偏性、有效性和一致性；

(28) 求单个或两个正态总体参数的置信区间；

(29) 对单个或两个正态总体参数假设进行显着性检验；

(30)采用2检验方法检验总体分布假设。

本部分主要考察概率论和数理统计的基本概念、基本性质和基本理论，并考察基本方法的应用。分析历年考题，概率论、数理统计的题型很少，甚至是填空题、选择题，只考单个知识点。大部分试题考验考生的理解力和综合应用能力。要求考生灵活运用所学知识，建立正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分、级数等知识解决问题。

在回答这部分试题时，考生常犯的错误包括：

（一）概念不清、事件之间的关系、事件结构不清晰的；

（2）实验分析错误，概率模型错误；

（三）概率计算公式应用不当的；

（四）不能熟练运用独立性进行证明和计算的；

（五）不能熟练掌握和运用常用概率分布及其数值特征的；

（六）不能正确运用相关定义、公式和性质进行综合分析、计算和证明的。

根据历年考生的答题情况可知，概率论与数理统计试题的得分率在0.3左右，辨别力普遍在0.40以上。由此可见，试题难度较大，差异化也很大。概念很多，定理很多，符号很多，运算规则很多，内容纵横交错。知识之间的紧密联系是线性代数课程的特点。因此，考生应充分理解概念，掌握定理的条件、结论和应用，熟悉符号的含义，掌握各种运算规则和计算方法，及时总结并建立联系，能够将所学知识进行整合、推论。根据考试大纲的要求，具体如下：

行列式的重点是计算，利用行列式的性质巧妙而准确地计算出行列式的值。

除了可逆矩阵、伴随矩阵、分块矩阵、初等矩阵等重要概念外，矩阵也主要是运算。运算分为两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算。例如，求解矩阵方程时，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后代入数值计算具体结果。矩阵的求逆（包括简单的分块数组）（要么抽象，要么具体，要么用定义，要么用公式A -1=1 A*，要么用A的初等行变换），A和A*的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等性也是经常测试的内容之一。

关于向量，证明（或判断）向量组的线性相关性（不相关性）、线性表达式等问题的关键在于对线性相关性（不相关性）概念的深入理解和几个相关定理的掌握，并注意演绎过程中要注重逻辑性。反证法的正确性和使用。

向量组的最大独立群、等价向量组、向量组和矩阵的秩及其相互关系也是重点内容之一。初等行变换是求向量组的最大独立群以及向量组和矩阵的秩的有效方法。

Rn中，线性无关向量组的基、坐标、基变换公式、坐标变换公式、转移矩阵、标准正交化公式等要概念清晰，计算熟练。当然，列出计算中的关系表达式后，应该先简单地输入后面计算的具体值。

行列式、矩阵、向量和方程组是线性代数的基本内容。它们并不是孤立的，而是相互渗透、紧密相连的。例如OA?O0<===>A是可逆矩阵<===>r(A)=n（满秩矩阵）<===>A的列（行）向量组是线性的独立<===>AX=0 唯一零解<===>AX=b 对任何b 有一个（唯一）解<===>A=P1 P2…PN，其中PI (I=1,2, …,N) 是初等矩阵<===>r(AB)=r(B)===初等行变换

I<===>A 的列（行）向量组是Rn<====>A 的一个基，A 可以是两个基之间的转移矩阵等等。这种相互联系为综合命题创造了条件。因此，考生要认真总结，开拓思路，善于分析，丰富联想，才能顺利到达一波三折的综合试题的彼岸。

关于特征值和特征向量。首先，你需要能够找到特征值和特征向量。对于具体的数值矩阵，一般采用特征方程OE-AO=0且(E-A)=0。抽象地，给定矩阵要求其相关矩阵的特征值（取值范围），可以定义A=。同时，还应注意特征值和特征向量的性质和应用。第二个是关于相似矩阵和相似对角化相关的问题。一般矩阵相似性对角化的条件。实对称矩阵的类似对角化和正交变换与对角矩阵类似。反过来，可以通过特征值来确定A的参数，并且可以确定A或A的特征向量。如果A是实数对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量彼此正交。有时可以从已知的1的特征向量中确定出2对应的特征向量（21），从而确定A。第三是类似对角化后的应用，至少可以用来计算线性代数中的行列式和An。

将二次型表达为矩阵形式，用矩阵法研究二次型主要有两个问题：一是将二次型转化为标准形式，主要是正交变换方法（这个类似于实对称矩阵的正交性对角矩阵是同一问题的两个表述）。在没有其他要求的情况下，使用匹配法获取标准表格可能会更方便；第二个是二次型的正定性问题。对于具体的数值二次型，在证明相关矩阵、标准形式、规范形式的正定性时，一般可以通过所有序贯主公式是否大于零来判断，并从给定矩阵的正定性抽象出来、特征值等可以用来证明。这个时候，你应该熟悉二次元与正定性相关的充分条件和必要条件。

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