求导的四则运算法则证明(求导公式运算法则证明)
导数公式的证明
2015年真题问了一道证明题:证明两个函数的乘积的导数公式。几乎每个学生都熟悉这个公式的用法,但却不熟悉它是怎么来的。事实上,从教学的角度来看,这个基本公式的证明在2015年之前从未测试过,一般只在基础阶段进行教学。如果这个阶段的考生急于求成,只关注如何使用结论而不关心结论是如何得出的,他们可能从来没有认真思考过公式的证明过程,在考场上变得非常被动。在此提醒2017年考研的同学:注意基础阶段的复习。真题中没有检验过的重要结论的证明可能会通过,所以不要放过。
当然,这个公式的证明并不困难。首先考虑f(x)*g(x) 在x0 点的导数。函数在一点的导数自然可以利用导数定义来考察,并且根据导数定义可以写出极限表达式。这个极限是“0/0”型的,但是不能用L'Obitat定律,因为分子的导数很难计算(乘积的导数公式恰好被证明了,不能用!)。采用数学中常用的拼凑法,加一项、减一项。这“无中生有”这一项,一定要前后有联系,这样才容易得出共同因素。之后,将分子的四项配对,除以分母并考虑极限,很容易得到结果。基于x0的任意性,得到f(x)*g(x)在任意点的导数公式。
对于f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)/g(x)的导数公式也可以考虑类似的证明。
(实习编辑:陈晓波)
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