联考数学线性代数部分特点解析题(联考数学线性代数部分特点解析)

1、注重基本概念的理解和掌握，正确熟练地运用基本方法和基本操作。

线性代数中有很多概念，重要的是：

代数余因子、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换和初等矩阵、正交变换和正交矩阵、秩（矩阵、向量群、二次型）、等价（矩阵、向量群）、线性组合和线性表、线性相关和线性独立、最大线性独立群、基本解系和通解、解结构和解空间、特征值和特征向量、相似性和相似对角化、二次型的标准形式和规范形式、正定、契约变换和契约矩阵。

往年考生往往未能准确把握概念的内涵，没有注意相关概念之间的区别和联系，导致答题时出现错误。

例如，矩阵A=(1,2,…,m)等价于B=(1,2…,m)，这意味着A经过初等变换可以得到B。要做到这一点，关键是看秩r（A）是否等于r（B），以及向量组1，2，m相当于1，2，m，表明这两个向量组可以彼此线性表达，因此它们具有相同的秩，但是向量组具有相同的秩时，不能保证它们能够彼此线性表达，并且没有等效信息可以得到向量组的相关信息。因此，向量组1,2,m等价于1,2,m，可见矩阵A=(1,2,m)且B=(1, 2,m) 是等价的，但矩阵A 和B 相等并不能保证两个向量组是等价的。

又例如，实对称矩阵A和B是契约的，即存在可逆矩阵C，使得CTAC=B。要实现这一点，关键在于二次型xTAx和xTBx的正负惯量指数是否相同，而A和B之间的相似性意味着存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立。那么我们知道A和B有相同的特征值。如果特征值相同，我们就可以知道正负惯性指标相同。但是，当正负惯性指标相同时，并不能保证特征值相同。因此，实数对称矩阵ABAB，即相似性是合约成立的充分条件。

线性代数中有很多运算规则，要理清清楚，不要混淆。基本操作、基本方法都要通过。重要的是：

计算行列式（数字、字母）、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组和最大线性独立群的秩、确定线性相关性或求参数、求基本解系，求非齐次线性方程的通解，求特征值和特征向量（定义法，特征多项式的基本解系法），判断并求相似对角矩阵，利用正交变换将实对称矩阵变换为对角矩阵（即利用正交变换将二次形式转化为标准形式）。

2、注重知识点的连接和转化，形成知识网络，努力提高综合分析能力。

线性代数的内容纵横交错、紧密相连、环环相扣、相互渗透。因此，解决问题的方法灵活多变。复习的时候，一定要问自己做得对吗？然后问你过得好吗？只有不断总结总结，努力理清内部联系，整合所学知识。接口和入口点多了，熟悉了之后，思路自然就开阔了。

例如：假设A是mn矩阵，B是ns矩阵，AB=0，那么利用分块矩阵可以看出B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，然后根据基本解方程组的理论以及矩阵的秩与向量组的秩的关系可得

r(B)n-r(A) 即r(A)+r(B)n

然后我们可以在矩阵A或B中找到一些参数

再比如，如果A是一个可以类似对角化的n阶矩阵，那么通过分块矩阵处理P-1AP=，可以看出A有n个线性独立的特征向量，P由A. 的线性无关特征向量，然后从特征向量与基本解系的联系可知，若i 为ni 重特征值，则齐次方程组(iE-A) 的基本解系x=0由ni个解向量组成，那么我们可以知道秩r(iE-A)=n-ni，那么，如果A不能类似地对角化，那么A的特征值一定有多个根和特征值i 使得秩r(iE-A)

再举个例子，对于n 阶行列式我们知道：

若|A|=0，则Ax=0必定有非零解，且Ax=b无唯一解（可能有无穷多个解，也可能无解），且当|A|0时，可以利用Clem的方法规则求出Ax=b的唯一解；

使用|A|证明矩阵A是否可逆，当可逆时，利用伴随矩阵求A-1；对于n 个n 维向量1, 2,n, 可以使用行列式|A|=|12.n|归零以确定向量组的线性相关性；

矩阵A 的秩r(A) 由A 中非零子公式的最高阶定义。如果r(A)

要求矩阵A 的特征值，可以计算行列式|E-A|。若=0为A的特征值，则行列式|0E-A|=0；

要确定二次形式xTAx 的正定性，可以使用顺序主公式全部大于零。

这一切正是因为线性代数的各个知识点有着千丝万缕的联系，所以代数题更加全面、灵活。学生在整理时要注意串联、联系、转换。

3、注重逻辑性和叙事表达

线性代数对抽象性和逻辑性有很高的要求。通过证明题，可以了解考生对数学主要原理和定理的理解和掌握情况，考验考生的抽象思维能力和逻辑推理能力。大家在复习和整理的时候，要明确公式、定理成立的条件，不要故弄玄虚。同时，还应注意语言描述和表达要准确、简洁。

线性代数中常见的证明问题类型包括：

证明|A|=0；证明向量组1,2,t的线性相关性，也可以推广证明1,2.t是齐次方程组Ax=0的基本解系；证明秩或不等式的方程；证明矩阵的某些性质，如对称性、可逆性、正交性、正定性、对角化性、零矩阵等；证明齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解（即 能否用1, 2. s 线性表示）；证明两个给定方程的同解性或共同解；证明二次形式的正定性和规范形式等。

简而言之，数学问题是不断变化的，并且有各种扩展或变化。学生要想在考试中取得好成绩，就必须认真复习、认真复习。仅仅靠做题试试运气是行不通的。一定要注重三基，多思考。多讨论，不断总结经验教训，做到全面认识。

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