概率论随机事件例题(概率论随机事件的概率公式)

(1)排列组合公式

从m 个人中选出的可能的n 个人进行安排。

从m个人中选出n个人的可能组合数。

(2)加法和乘法原理

加法原理（两种方法都可以实现）：m+n

可以通过两种方法来完成某件事。第一种方法可以用m个方法来完成，第二种方法可以用n个方法来完成。那么这个事情就可以通过m+n个方法来完成。

乘法原理（两步不能单独完成这件事）：mn

一件事情是分两步完成的。第一步可以通过m种方法完成，第二步可以通过n种方法完成。那么这个事情就可以通过mn的方法来完成。

(3)一些常见的安排

重复和非重复排列（有序）

对立事件（至少一个）

顺序问题

(4)随机实验和随机事件

如果一个实验可以在相同条件下重复进行，并且每个实验都有不止一种可能的结果，但在进行实验之前无法确定会产生哪种结果，则称为随机实验。

实验的可能结果称为随机事件。

(5) 基本事件、样本空间和事件

在实验中，无论有多少个事件，总能找到一组事件，它具有以下性质：

每次进行测试时，该组中必须发生且只能发生一个事件；

任何一个事件都是由该组中的一些事件组成的。

这样一组事件中的每个事件称为基本事件并用来表示。

基本事件的总体称为实验的样本空间，用表示。

事件是由中的一些点（基本事件）组成的集合。事件通常用大写字母A、B、C、 表示，它们是的子集。

是必然事件， 是不可能事件。

不可能事件（）的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件；同样，不可避免事件的概率（）为1，概率为1的事件不一定是必然事件。

(6) 事件的关系和操作

关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（当A发生时，事件B也必然发生）：

如果同时存在，则称事件A与事件B等价，或者A等于B：A=B。

至少发生A 和B 之一的事件：A B 或A+B。

由属于A而不属于B的部分组成的事件称为A与B的差，记为A-B，也可以表示为A-AB或者表示A发生而B不发生的事件发生。

A 和B 同时发生：A B 或AB。 A B=，表示A和B不能同时发生，称事件A和事件B是互不相容或互斥的。基本事件是互斥的。

-A 称为事件A的逆事件，或A的相反事件，记为。它代表A没有发生的事件。相互排斥不一定是对立的。

操作：

结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C

分配率： (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)

德摩根利率：

(7)概率的公理定义

让它成为一个样本空间和一个事件。对于每个事件，都有一个实数P(A)。如果满足以下三个条件：

1 0P(A)1,

2 P()=1

3对于两个互不相容的事件，有

通常称为可列表（完全）可加性。

则P(A) 称为事件发生的概率。

（八）经典概念

1,

2。

假设任何事件由

P(A)==

(9) 几何轮廓

如果随机实验的结果是无限不可数的，且每个结果的概率是均匀的，并且样本空间中的每个基本事件都可以用有界区域来描述，则该随机实验称为几何剖面。对于任意事件A。其中L 是几何测量值（长度、面积、体积）。

(10) 加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

(11)减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=时，P( )=1- P(B)

(12)条件概率

定义设A、B为两个事件，且P(A)0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，概率的所有性质都适用于条件概率。

例如，P(/B)=1 P(/A)=1-P(B/A)

(13)乘法公式

乘法公式：

更一般地，对于事件A1，A2，…An，如果P(A1A2…An-1)0，那么我们有

…………。

(14) 独立性

两个事件的独立性

假设事件满足，我们说事件相互独立。

如果事件彼此独立，那么我们有

如果事件， 彼此独立，那么我们可以得到和， 和， 和也彼此独立。

必要事件和不可能事件 独立于任何事件。

与任何事件都是相互排斥的。

多个事件的独立性

假设ABC 是三个事件。如果满足成对独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

则A、B、C相互独立。

n 个事件类似。

(15) 通式

假设事件满足

1配对彼此不相容，

2,

那么有。

(16) 贝叶斯公式

假设事件，并且满足

1,…,两对互斥， 0, 1, 2,…,

2,

但

,i=1,2,…n。

这个公式就是贝叶斯公式。

, (,)，通常称为先验概率。 (,)，通常称为后验概率。贝叶斯公式体现了“因果”的概率规律，做出“果导致因”的推论。

(17) 伯努利轮廓

我们做了一个实验，很满意

u每个测试只有两种可能的结果，发生或不发生；

u 反复试验，即每次出现的概率相同；

u每个试验都是独立的，即每个试验的发生与否不影响其他试验的发生与否。

这种检验称为伯努利一般型，或者称为重伯努利检验。

表示每次试验中发生的概率，则发生概率为， 表示重复伯努利试验中发生的概率，

,

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