剩余定理－－巧解国考行测数学题余数问题

国考真题：
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

论坛里面有高手分析并且解决了余数定理的问题，可是对于我们这些新手或“低手”来说，也许说的不是很容易懂。
我在这里就献丑了——高手不用看了，跳过吧。这是专门写给新手的：

先看【一】：15÷7=2……余1，即

　　2×15÷7=4……余2，

　　3×15÷7=6……余3，

　　4×15÷7=8……余4，

　　5×15÷7=10……余5，

　　6×15÷7=12……余6. (废话？不要急，如果是新手就要慢慢看，你也可以直接做下面的例子1－4)
你得出什么规律了？比如说35/3余2，那么知道70/3余“4”，也就是余1.。35/4余3，那么70/4余“6”，也就是余2。


接着看【二】：

　　 从758里连续减去若干个105后，求所得的要求小于105的差数，实际上就是求758除以105所得的余数.即

　　758÷105=7……余23. （废话吧？定义来着。）
结论：从某数A中连续减去N个B后，求所得的要求小于数B的差数，实际上就是求数A除以数B所得的余数.


再看【三】：“孙子问题”.

　 “一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数.”

思路一：
　　分别写出除数3、5、7的两两最小公倍数——15， 35， 21.如下所示：


除以7余2的较小数——30； （3跟5的最小公倍数为15，除以7余1，由上面废话一已经知道15×2除以7余2）

除以5余3的较小数——63； （21除以5余1，那么由废话一可知21×3即63，它除以5余3，下同）

除以3余2的较小数——35.

根据和的整除性，可知30+63+35=128一定是一个同时满足“被3除余2，被5除余3，被7除余2”的数（稍做解释：比如，63，35是7的倍数了，加起来被7除肯定是余“0”的，只有30除以7余数2还在），但是不一定是最小的.要得到满足条件的最小数，只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍，使得差数小于这个最小公倍数就是了（就是上面的废话二）. 。
3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105，因此可以得到：
　　128÷（105×1）余23.
这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.
现在有思路了吧？
总结：对于三个数的，先两两求公倍数，并且要是被另外一个除满足余数条件的；然后三数相加；最后减去若干个 三数最小公倍数。

思路二：
其实这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”. 孙子的解法如下：

先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即

　　15÷7=2……余1，

　　21÷5=4……余1，

　　70÷3=23……余1. （这里是因为5×7＝35，它除以3余数为2，要再乘以2才满足余“4”，即余1）

再用找到的这三个数分别乘以'被7、5、3除所得的余数'的积 最后再连加，

　　15×2+21×3+70×2=233. （这个过程就同上面的解法有一点点不同，不过根据是完全一样的）

最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.

　　233÷105=2……余23，

这个余数23就是合乎条件的最小数.
总结：先分别找三个 两两的公倍数，并且它们被除后要余1的；然后分别乘以对应的各个余数；最后加起来（减去N个三数最小公倍数）。

废话少说了，下面来做几个题加强记忆。
【例1】：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是(34)？（公考不会出这样的题目的，^_^，如果出的话就用代入法！！！）
根据剩余定理，则
〔4，5〕=20；20×2=40，40÷3= ……1 （因为公倍数20除以3余数为2，要找余数为1的，就要20×2，使得余数“4”，即1，下同）
〔3，5〕=15；15×2=30，30÷4=……2
〔3，4〕=12；12×2=24，24÷5=……4
〔3，4，5〕=60。
所以40+30＋24－（60×1）=34______________应用“思路一”，简单吧？

【例2】：一个自然数除以12余3，除以13余4，这样的最小数是多少？(147)
由于13除以12余数为1，那么知道，39除以12余数为3；12除以13余数是12，那么108除以13余数为4（12余12，24余11，36余10……这样从12到4有9个了，所以是12×9＝108）。39＋108＝147，147满足条件。

怎么样？再来一个。

【例3】：自然数满足下列条件：除以10的余数为8，除以9的余数为7，除以8的余数为6。这样的三位数有几个？（C）
A、不存在 B、1个 C、2个 D、3个
已经基本上有余数的思想了，那么看这题也不难了，找个除以10余“10”，除以9余“9”，除以8余“8”的数，然后再减去2.358满足条件了。那么另外的还有360×2-1＝719也满足条件。

最后，就是说一下上面的那道国考真题。
【例4】：一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有：(A)
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个

7*100+2*36+3*45=907____________“思路二”孙子
（这里100是4、5的公倍数，并且它除以9余1，它是这样得来的：由20÷9余2知道，我们要找一个余数为“十”的……）

9、5、4的最小公倍数是：180
所以这样的三位数是：
907
907-180=727
907-180*2=547
907-180*3=367
907-180*4=187


注意，以上例子解题方法只是分析剩余定理时用的，例二与例三属于“同余”中的“差同”问题，应首先考虑以下做法。
例二12－3＝9，13－4＝9，所以答案为12×13－9＝147；例三为360N－2。
总结如下所示：
1. “余同”
如：一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，都是余数2
4，5，6的最小公倍数是60，这个数可表示为60N+2
2. “和同”
若：一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，得到的除数、余数的和相同都为7
这个数可表示为60N+7
3. “差同”
例：一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，得到的除数、余数的差相同为3
这个数可表示为60N-3

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