排列组合中同于不同问题经典例题解析

讨论一个非常经典的题目

6个学生平均分成3组，有多少种分法？
6个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？

讨论中出现了2个做法，
其一：是　Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０
其二：是　Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）＼Ａ（３，３）＝１５

现在我们就来讨论是否需要考虑　×Ａ（３，３）　　还是要除以　Ａ（３，３）

我们先从简单的Ｃ　和　Ａ说起。
Ｃ是排列组合当中表示选取的意思。　整个核心是“选取”，所以不设计到排列。　如　从１，２，３这三个数字中选出２个数字，有几种选法？
我们就可以简单的运用Ｃ（３，２）　＝３　　　

而Ａ则有所不同，Ａ除了选取还需要排列。　 比如　从１，２，３这三个数字中选出２个数字，可以组成多少个两位数？
我们刚才说过了　排列是建立在选取的基础上，Ａ分步看，就是先选取　后排列。　如此题　　　Ｃ（３，２）×Ａ（２，２）＝Ａ（３，２）＝６

现在我们就来看原题。
6个学生平均分成3组，有多少种分法？

我们知道这里的分组　是相同的，　也就是说我无需考虑排列的问题，只管选取。
这个时候有人就会问了　　正确答案不就是　Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０吗？　　其实不然！

下面我们继续来探讨。为什么不然　　我们最熟悉的就是　　数字排列。

如　１，２，３，４，５　　这５个数字可以组成多少个５位数？　　我们都知道是　Ａ（５，５）
Ａ５，５＝Ｃ（５，１）×Ｃ（４，１）×Ｃ（３，１）×Ｃ（２，１）×Ｃ（１，１）
这样一分解大家也许就明白了：Ａ就是分步选取，换句话说，就是分步选取，包含了排列。


那么我们回头看　　Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０　　这里就必定包含了对三个组的排列　所以我们必须要Ｔ除！　　即答案是　９０＼Ａ（３．３）＝１５

6个学生平均分到3个不同的班级，有多少种分法？
再看这个题目，我们发现其实，分组不同了，　那么我们只需做好分步选取就ｏｋ了，无需再去重复的排列了？
即答案就是　Ｃ（６，２）×Ｃ（４，２）=９０　　

下面我再来举个简单的例子反驳
如　２个人叫ＡＢ，他们分成２组　每组１人。有多少种？

Ａ，Ｂ　　　就１种，　　　因为组不区分，　ＡＢ和ＢＡ是一回事。　　Ｃ（２，１）×Ｃ（１，１）显然这里就是错误的了

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