数学中的差量法(差量法题目)

从历年考试情况来看，数量关系中“牛吃草”类题目是公务员考试中比较难的一类试题，李委明老师解决“牛吃草”问题的经典公式是：即y=(n-x)*t，其中y代表原有存量(比如原有草量)，N代表促使原有存量减少的外生可变数(比如牛数)，x代表存量的自然增长速度(比如草长速度)，T代表存量完全消失所耗用时间。需要提醒考生的是，此公式中默认了每头牛吃草的速度为1。运用此公式解决牛吃草问题的程序是列出方程组解题，具体过程不再详细叙述，接下来我们从牛吃草公式本身出发看看此公式带给我们的信息。

牛吃草公式可以变形为y+Tx=NT，此式子表达的意思是原有存量与存量增长量之和等于消耗的总量，一般来说原有存量和存量的自然增长速度是不变的，则在此假定条件下我们可以得到x△t=△(NT)，此式子说明两种不同吃草方式的改变量等于对应的两种长草方式的改变量，而且可以看出草生长的改变量只与天数的变化有关，而牛吃草的改变量与牛的头数和天数都有关。这个式子就是差量法解决牛吃草问题的基础。请考生看下面这道试题：

例题一：(广东2003—14)

有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天?( )

A 20 B 25 C 30 D 35

这道题目用差量法求解过程如下：设可供x头牛吃4天，10头牛吃20天和15头牛吃10天两种吃法的改变量为10×20—15×10,对应的草生长的改变量为20—10;我们还可以得到15头牛吃10天和x头牛吃4天两种吃法的改变量为15×10—4x,对应的草生长的改变量为10—4。由此我们可以列出如下的方程：

(15*10-4x)/(10*20-15*10)=(10-4)/(20-10)，解此方程可得x=30。

如果求天数，求解过程是一样的，下面我们来看另外一道试题：

例题二：(浙江2007A类—24)

林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光?(假定野果生长的速度不变)( )

A.2周 B.3周 C.4周 D.5周

解题过程如下所示：设需要x周吃光，则根据差量法列出如下方程：

(21*12-23*9)/(23*9-33x)=(12-9)/(9-x)，解此方程可得x=4。

以上两道试题在考试中比较常见，如果考生选择正确的思考方式，会在短时间内得出正确答案。近年来随着考试大纲的不断变化，命题者也在不断地推陈出新，所以牛吃草问题有了更多的变形，比如有的试题中牛吃草的速度会改变。尽管有变化但是考生依然可以用差量法来解决。请大家看下面这道国考真题：

例题三：(国家2009—119)

一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?( )

A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4

这道试题的思考过程：设该市市民需要节约x比例的水才能实现政府制定的目标。则12万人20年和15万人15年两种吃水方式的差为12×20—15×15，对应的水库存水的改变量为20—15;15万人30年与15万人15年两种吃水方式的差为15×(1—x)×30-15×15，对应的水库存水的改变量为30—15，则可列出如下的比例式：

(12*20-15*15)/[15*(1-x)*30-15*15]=(20-15)/(30-15)，解此方程得x=2/5.

这道题如果改变的是草生长的速度，考生同样可以用差量法来解答。请看下面这道题：

例题四：(江苏2008C类—19)

在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票;如果开出12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为( )

A.15 B.16 C.18 D.19

解题过程：设至少应开售票窗口数为x。10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和开出12个售票窗口3小时可使大厅内所有旅客买到票两种方式票的差量为5×10—3×12，对应的旅客差量为5-3;10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和大厅入口处旅客速度增加为原速度1.5倍时开出x个售票窗口2小时可使大厅内所有旅客买到票这两种方式的差量为5×10—2x，对应的旅客差量为5-2×1.5，则可列出下列比例式：

(5*10-3*12)/(5*10-2x)=(5-3)/(5-2*15)，解得x=18.

除了上述两种变形的情况以外，还有另外一种变形的牛吃草试题，即改变原有草量。如果改变原有草量，从表面上此题看似乎不能用差量法解了，实际上经过简单的变换后依然可以用差量法解答，请大家看下面这道题：

例题五：

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛?( )

A.50 B.46 C.38 D.35

根据题意我们可以得出40公亩牧场吃54天需要22×40÷33=80/3头牛，而40公亩牧场吃84天需要17×40÷28=170/7头牛，列出差量法的比例式如下：

(170/7*84-80/3*54)/(80/3*54-24x)=(84-54)/(54-24)，解得x=35。

因为本题中出现了不是整头牛的情况，所以考生不太容易理解

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