同余特性解不定方程的例题(如何用同余解不定方程)

行测考试中的数量关系模块中，对数字运算题目的考察经常需要借用方程思想。不定方程则又是方程思想考察中的重点。

不定方程就是未知数的个数大于方程的个数，这类方程它的解有无穷多个，但是在公务员考试中题目会给出一些限制条件，有了这些限制条件方程的解就会唯一确定，同学们需要掌握根据限制条件去求解方程。要找出这样一组解最直观的办法可以把选项带入题干中去验证，只要符合题意就可以选择该选项，但这种解法可能会浪费一点时间，因此，公务员考试网建议考生还需要掌握一些解题技巧，比如利用同余特性解不定方程问题。

同余特性的性质

第一条：余数的和决定和的余数。

比如，我们求(36+37)÷7的余数，因为36÷7余数是1，37÷7的余数是2，余数的和1+2=3，3再除以7的余数是3，余数的和决定和的余数，所以(36+37)÷7的余数就是3。

第二条：余数的积决定积的余数

比如，我们求(36×37)÷7的余数，因为这两个数除以7的余数分别是1和2，乘积为2，2再除以7余数为2，余数的积决定积的余数，所以(36×37)÷7的余数也为2。

例题

例题1：7a+8b=111，已知a，b为正整数，且a>b，则a-b=( )选项为

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B。解析：要想求出a-b的值，就得知道a和b的值。那我们先来求a ,要想求出a的值，就要消掉8b这一项。消一个元要除以系数本身，即8b除以8余0 ,而111÷8除以8余7，利用同余特性余数的和决定和的余数， 7a÷8余数为7，再利用余数的积决定积的余数，得到a÷8余1。我们再来看b，要想求出b的值就要消掉7a根据消一个元除以系数本身。那么我们就要除以7，7a ÷7余数为零，111÷7余数为6，根据同余特性余数的和决定和的余数，我们得到，8b ÷7余数为6，再利用余数的积决定积的余数，我们得到b÷7余数为6。先来看a，正整数范围内第一个÷8余数为1的数，而题干要求a大于b，而1是最小的正整数，因此a不能等于1 ,下一个÷8余1的数为9，再来看b，正整数范围内第一个除以7余6的数是6，此时，恰好满足a-b都为正整数，且a大于b ,因此a-b等于3 ,结合选项，选择B。

例题2：某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C。解析：根据题目条件可将购买盖饭人数设为X，购买水饺人数设为Y，购买面条人数设为Z，可列式为15 X +7Y +9Z=60， X、Y、Z都是正整数，求Y，选项为1、2、3、4 ，要想求出Y的值，就要消掉15 X和9Z，根据消两个元就要除以系数的最大公约数， 15和9的最大公约数是3，15X和9Z÷3余数都为0，根据余数的和决定和的余数，7Y÷3余数也为0，再利用余数的积决定积的余数，得到Y ÷3余数也为0。结合选项只能选C。

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