2015考研高数真题(2015考研数学1真题及答案解析(完整版))

1. 功能、限制和连续性

求分段函数的复合函数；求极限或已知极限来确定原公式中的常数；讨论函数的连续性并确定不连续性的类型；比较无穷小阶；讨论给定区间内连续函数的零点个数，或确定方程在给定区间内是否有实根。

2.一变量函数的微分计算

求给定函数（包括高阶导数）的导数和微分，隐函数和参数方程确定的函数的导数，特别是分段函数和具有绝对值的函数的可导性的讨论；使用Lobida 使用规则求不定式的极限；讨论函数极值、方程根、证明函数不等式；利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理来证明相关命题，例如“证明在开区间内至少有一个点满足……”。这类问题证明往往需要构造辅助函数；几何、物理、经济学等中的极大值和极小值应用问题。解决此类问题，主要是确定目标函数和约束条件，并确定所讨论的区间；使用导数来研究函数的行为并绘制函数的图形，并找到曲线的渐近线。

3. 单变量函数积分

计算题：不定积分、定积分和广义积分的计算；关于变上限积分的问题：如求导、求极限等；关于积分中值定理和积分性质的证明问题；定积分的应用问题：面积、旋转体体积、平面曲线的弧长、旋转面的面积、压力、重力、变力所做的功等计算；综合测试题。 （注：解决高数问题的最后一步往往是求解积分，所以一定要熟练掌握各种求解积分的方法！）

4.向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的定量乘积、向量乘积和混合乘积；求直线方程和平面方程；确定平面与直线的平行和垂直关系，求角度；建立旋转表面方程；以及几何中多元函数的微积分应用或与线性代数相关的问题。该题型考研占分较少，如果考的话直接考概念。

5.多元函数的微分学

判断二元函数在一点是否连续、偏导数是否存在、可微、偏导数是否连续；求多元函数（尤其是包含抽象函数的函数）的一阶和二阶偏导数，以及求隐函数的一阶和二阶偏导数。二阶偏导数；求二元和三元函数的方向导数和梯度；查找曲面的切平面和法线，以及查找空间曲线的切平面和法线。这类题是关于多元函数微积分的题，要和之前的向量代数和空间解析几何综合题一起复习；多元函数极值或条件极值在几何、物理和经济学中的应用问题；求二元连续函数在有界平面面积值上的最大值和最小值。这部分申请题大多用到了其他领域的知识，考生在复习时要注意。

6.多元函数的积分

各种坐标下的二重、三重积分计算，累积积分交换顺序；第一类曲线积分、曲面积分的计算；第二类曲线积分（对于坐标）的计算、格林公式、斯托克斯公式及其应用；第二类（针对坐标）曲面积分的计算、高斯公式及其应用；梯度、散度、旋度综合计算；重积分，线面积积分的应用；求面积、体积、重量、重心、重心、变力做功等。 数学1考生要对这部分内容和题型给予足够的重视。每年都会出一道题！

7.无限系列

确定数值级数的收敛性、发散性、绝对收敛性和条件收敛性；求幂级数的收敛半径和收敛域；求幂级数的和函数或数值级数的和；将函数展开为幂级数（包括写出收敛域）；将函数展开为傅里叶级数，或者傅里叶级数已经给定，并确定其在某一点的和（通常采用狄利克雷定理）；综合证明题。

8.微分方程

求典型类型一阶微分方程的通解或特解：此类问题首先涉及识别方程的类型。当然，有些方程并不直接属于我们所学的类型。此时常用的方法是交换x和y或者进行适当的改变。代入变量，将原方程转化为我们所学的类型；求解可约阶方程；找到具有线性常系数的齐次和非齐次方程的特解或通解；根据实际问题或给定条件建立微分方程并求解；综合题，最常见的是以下内容的综合：变上界积分、变积分域上的重积分、与路径无关的线积分、全微分的充要条件、偏导数等。

总之，对于考生来说，要想在数学考试中取得好成绩，就必须按照各种考试大纲的要求，认真系统地复习，掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。平时注意掌握题型的解法和技巧，不断总结。最后按照规定时间做几道模拟题，了解自己掌握的程度。同时可以了解薄弱环节，抓紧时间进行弥补。如果考生能够将解题中遇到的各种问题进行延伸或变化，达到全面的理解，一定会取得好的成绩。数学学习必须循序渐进、循序渐进，才能达到理想的效果。未来属于我们，属于你，但归根结底还是属于你！

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