考研高等数学函数极限例题(高数第一章函数与极限公式)

大家在备考考研的时候，要注意、总结、反思知识点，这将有助于大家提高学习效率，更好地备考。

1、函数的有界性在定义域内有f(x)K1，则函数f(x)在定义域内有下界，K1为下界；如果f(x)K2，则存在上界，K2称为上界。函数f(x) 在定义域内有界的充分必要条件是，在定义域内同时存在上界和下界。

2、序列的极限定理（极限的唯一性）序列{xn}不能同时收敛到两个不同的极限。

定理（收敛序列的有界性） 如果序列{xn} 收敛，则序列{xn} 必定是有界的。

如果序列{xn}是无界的，那么序列{xn}必定发散；但如果序列{xn}有界，则不能断定序列{xn}一定收敛，例如序列1,-1,1,-1,(-1)n+1.这个序列有界但发散，因此有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

定理（收敛序列与其子序列之间的关系） 如果序列{xn} 收敛于a，则其任何子序列也收敛于a。如果序列{xn} 有两个收敛到不同极限的子序列，则序列{xn} } 是发散的，例如序列1, -1, 1, -1, (-1)n+1.中子序列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，但{xn}发散；同时，发散序列的子序列也可能是收敛的。

3. 函数极限在函数极限的定义中，0

定理（极限的局部符号保留） 如果当lim(xx0) 时f(x)=A，且A0（或A0（或f(x)0）），反之亦然。

函数f(x) 极限存在的充要条件存在。

一般来说，如果lim(x)f(x)=c，则直线y=c 就是函数y=f(x) 的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线x=x0 是函数y=f(x) 图的垂直渐近线。

4、极限算术规则定理：有限个无穷小数之和也为无穷小；有界函数和无穷小函数的乘积是无穷小；常数和无穷小数的乘积是无穷小；有限数量的无穷小数的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)F2(x )，且limF1(x)=a，limF2(x)=b，则ab。

5. 极限存在判据两个重要的极限是lim(x0)(sinx/x)=1； lim(x)(1+1/x)x=1。钳位准则如果序列{xn}、{ yn}、{zn} 满足以下条件：yn xn zn 且limyn=a、limzn=a，则limxn=a，此准则对于函数也成立。

单调有界序列必须有极限。

6. 函数的连续性假设函数y=f(x) 定义在点x0 的某个邻域内。若xx0时函数f(x)有极限，则其等于其在x0点的函数值。 f(x0)，即lim(xx0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在x0点连续。

不连续情况： 1、在点x=x0处没有定义； 2、虽然定义为x=x0，但lim(xx0)f(x)不存在； 3.虽然定义在x=x0且lim(xx0)f(x)存在，但当lim(xx0)f(x)f(x0)时，称该函数不连续或不连续在x0 处。

如果x0是函数f(x)的不连续点，但左极限和右极限同时存在，则x0称为函数f(x)的第一类不连续点（左极限和右极限相等，可称为不连续点，左右界限不相等）。称为跳跃不连续性）。任何不是第一类不连续点的不连续点称为第二类不连续点（无限不连续点和振荡不连续点）。

定理：有限个在某一点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是在该点连续的函数。

定理：若函数f(x)在区间Ix上单调连续增减，则其反函数x=f(y)在对应区间Iy={y|y=f(x)上，xIx单调递增或递减且连续。反三角函数在其定义域内是连续的。

定理（最大最小定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间内不连续，则函数不一定在该区间内具有最大值和最小值。

定理（有界定理） 闭区间上的连续函数必须在区间上有界，即m f (x) M。 定理（零点定理） 设函数f (x) 在闭区间[ a, b ]，并且f(a) 和f(b) 具有不同的符号（即f(a)f(b)

由此推论，闭区间上的连续函数必须取最大值M和最小值m之间的任意值。

以上是为您提供的有关功能和限制的知识。希望您在学习时仔细阅读以上内容，为您的考研打下坚实的基础。

  相关文章:

  第1篇    减法的四种算法(减法的四个运算定律)    作者：admin

   8月底，考研大纲即将公布。预注册将于9月进行，正式注册将于10月进行。考研初试离我们越来越近了。朋友们早出晚归，努力复习、收集各种材料。很多人的状态可以用“忙、累、慌、乱”来形容。是不是意味着复习越努力、收集的信息越多，考研成功的概率就越大呢？并非如此。考研，你要学

  第2篇    mpa管理类联考考什么(管理类mpa联考过国家线难吗)    作者：admin

   1.学校声誉虽然MPA的学习内容与各学校的基础课程非常相似，但附加课程却明显不同，具有很强的特色。课程的设置和重点与各学校的专业特长和教学领域有很大关系。例如，对外经济贸易学校有以海关为主的课程，农业院校有以农业或扶贫为主的课程等。考生在选择时应根据自己的喜好考虑学校的声

  第3篇    考研政治真题试卷pdf(考研政治真题试卷2022)    作者：admin

   摘要本文主要从五个角度论证研究生政考试卷的重要性和必要性。首先，研究生政治考试试卷是研究生政治考试的重要组成部分。掌握真题真题可以帮助你更好的应对考试。其次，通过分析真题，可以了解考研政治的考点和命题思路，有助于提高备考效果。第三，通过分析真题，可

  第4篇    云南大学2021年硕士研究生拟录取(2020年云南大学研究生)    作者：admin

   云南大学研究生2023录取摘要云南大学是云南省重点大学之一，以优良的学风和丰富的研究资源而闻名。随着时间的流逝，云南大学2023年研究生招生即将拉开帷幕。本文将从五个角度论证并详细介绍云南大学2023年研究生招生的重要性以及招生政策的变化。1.录取政策的变化云南大学的研究生招生政策将随着时间的推移进行调整，以更好地适应当今社会的需求。2023年招生

  第5篇    南京大学的新闻传播研究生好考吗(南京大学新闻传播专业考研)    作者：admin

   南京大学新闻传播硕士考研经验摘要本文旨在分享我作为南京大学新闻与传播专业研究生的经历。我将从多个角度来论证这一点，包括准备计划、复习方法和技巧、面试准备、学术研究和准备阶段的实践经验。本文总结了我在考研期间所学到的知识，希望对即将考