高数微积分极限求法总结(微积分极限视频教学)

本章的要点是：

1.多元函数（主要是二元和三元）的偏导数和全微分的概念；

2、偏导数和全微分的计算，特别是求复合函数的二阶偏导数和隐函数的偏导数；

3. 方向导数和梯度（仅数学1要求）；

4、多元函数的微分函数在几何中的应用（仅数学I必修）；

5.多元函数的极值和条件极值。

本章中的常见问题类型包括：

1.求二维和三维函数的偏导数和全微分。

2.求复数总函数的二阶偏导数；隐函数的一阶和二阶偏导数。

3. 求二元和三元函数的方向导数和梯度。

4、求空间曲线的切平面和法平面方程，求曲面的切平面和法平面方程。

5.多元函数极值在几何、物理和经济学中的应用问题。

第四类题是上一章多元函数微积分和向量代数、空间解析几何的综合题，需要一起复习。

极值应用题往往会用到其他领域的知识，尤其是经济学中的应用，涉及到经济学中的一些概念和规律。读者在审阅时应注意。

一变量函数的微分学在微积分学中占有非常重要的地位。内容丰富，影响深远。接下来的大部分章节都会介绍它。

本章的内容可以概括为四个部分。

1.概念部分，重点介绍导数和微分的定义。特别是，必须能够使用导数来定义分段函数在分界点处的可微性、高阶导数以及可微性与连续性的关系；

2、运算部分，重点学习基本初等函数的导数和微分公式，四种算术运算的导数和微分公式，以及反函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数公式等；

3.理论部分，重点介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

4、应用部分，重点是利用导数研究函数的行为（包括函数的单调性和极值、函数图的凹性和拐点、渐近线）、最优值应用问题、使用L'Buddha 定律寻找极限。以及衍生品在经济领域的应用，如“弹性”、“保证金”等。

常见的问题类型包括：

1.求给定函数的导数或微分（包括高级导数），包括隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

2. 利用罗尔定理、拉格朗日定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明相关命题和不等式，例如“证明开区间中至少有一个点满足……”，或讨论中的方程给定区间内的根数等

此类问题的证明往往需要构造辅助函数，而辅助函数的构造技术性很强。要求读者不仅要根据题目给出的条件分析推导所需的辅助函数，还要从需要证明的结论中得出所需的辅助函数。 （或其变形）从“递归”出发，推导出要构造的辅助函数。另外，证明中还经常用到函数的单调性判断和连续数的中值定理。

3. 使用洛皮达定律找出七个未定义的极限。

4、几何、物理、经济学等中的极大值和极小值问题。解决此类问题的主要任务是确定目标函数和约束条件并确定所讨论的区间。

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