高数定积分的应用在考研中的比例(考研数学定积分题)

本质上，考研高等数学部分只有三种运算：极限、导数和积分。首先我们看一下高等数学的整体框架：

我们可以看到，在学习定积分之前，我们先学习了不定积分。许多学生混淆了不定积分和定积分。事实上，不定积分是导数的逆运算，其本质仍然是导数的推广。实积分部分是定积分。因此，考生应注意以下三点：

1、理清知识体系

关于定积分的这一章非常重要，因为考试涵盖了广泛的主题。本章包括：定积分的定义和性质；微积分基本定理；反常积分；定积分的应用。这四个部分各有侧重。其中，定积分的定义是关键；必须理解微积分的基本定理；必须掌握定积分在几何和物理中的应用。至于异常点，大家了解一下就可以了。

2.深入理解知识点

掌握了知识体系之后，自然就明确了具体的关键知识点。首先是定积分的定义和性质。每个人都需要对定积分的定义有深刻的理解。我认为学生不仅要用自己的话表达定义，还要一步步写出本质。例如定义中体现的思想：微元法。学生必须理解分割、近似、求和、取极限四个步骤。同时，我们还必须了解其几何意义以及其定义中需要注意的方面。定积分定义的考试是每年考研的必修科目。所以我希望它能够引起大家的关注。

至于本质，关键是要了解它。特别是区间可加性；比较定理；和积分的中值定理。大家一定都知道这三个属性是怎么来的。考研中关于积分的证明题或多或少都会用到这三个性质。所以只有大家都理解了，才知道什么时候该用。

然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一个新函数：积分上限函数。在一定条件下，其导数为f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线和法线、单调性、极值、凹性等应用都可以与积分上限函数联系起来。同时提出了牛顿-莱布尼兹公式，使我们可以用不定积分来计算定积分。希望学生掌握牛顿-莱布尼兹公式的证明过程。

补充一点：常用的求定积分的方法是基本积分公式；积分代入法（微分微分法、积分代入法）；以及零件的积分法。其中，代入积分法和分部积分法是重点。大家一定要明白代换法的思想。也就是说，我们通过复合函数的推导公式推导了偏微分法；通过三角代换、根式代换等方法提出了代换积分法，并通过乘法函数的导数公式导出了分部积分法。所以只有知道这些方法从哪里来，才能更好的使用这些方法。接下来大家要注意变极限积分的推导，这样就可以自己证明了。

第三个要谈的是反常积分。对于这一部分，学生只要理解基本定义并能用定积分判断是否收敛就足够了。最后是定积分的应用。其实就是微元法在几何学和物理学中的应用。同样，学生需要知道数学1、数学2和数学3之间的区别。在几何中，数学III只需要掌握使用定积分来求简单几何实体的面积和体积。数学1和2还要求掌握使用定积分求曲线的弧长和旋转曲面的面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握使用定积分求变力沿直线所做的功、抽水所做的功、静水压力和质心问题。但核心是学生必须掌握微元法的思想。

3、适量的运动量

当大家都理解了重点知识，明确了考试要点后，就需要做题来巩固了。在此，我坚决反对提问的做法。因为每个人的时间都是有限的，在理解知识点之前，题海战术是没有用的。现在社会做事讲究效率。希望大家都能事半功倍。所以对于定积分这一章，大家首先要做题，巩固一下我提到的关键知识。关键是要理解每一道题，反思一下，多思考考过的知识点的各个方面。然后针对分重点知识做一些题，帮助自己理解。

总之，希望大家通过这三个步骤能够学好定积分，为以后复习高等数学打下坚实的基础。祝你们考研顺利！

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