高中物理弹性碰撞公式推导(弹性碰撞题目)

2007年高考物理“弹性碰撞”试题赏析

江西省南丰一中 聂应才

笔者在对2007年全国12套高考物理试题整理时发现了弹性碰撞知识内容明显增多，去年全国物理试题中只有重庆卷出现弹性碰撞的计算题，而今年却有7套试卷出现了弹性碰撞的计算题，并且首批进入高中新课改的4个省份：广东、山东、海南和宁夏，它们的高考试卷有弹性碰撞的计算题，其中只有广东卷没有以选做的形式出现，其它三个省份的试卷是以选做的形式出现。下面是笔者就2007年物理高考试题中的弹性碰撞归类。

一、弹性碰撞与匀速运动相结合

两球发生弹性碰撞后，两球所受合外力为零而做匀速直线运动，根据题意，求出相关的物理量。

【例1】（宁夏第30题选考D题）在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动。在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如图所示。小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动。小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1．5PO。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m1/m2。

解：从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1

两球碰撞过程有：

解得：

二、弹性碰撞与平抛运动相结合

小球碰撞后，其中有球做平抛运动，由平抛运动的知识，可求出初速度，然后列出弹性碰撞方向组，求得有关物理量。

【例2】（广东第17题）如图所示，在同一竖直上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H=2L。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O＇与P的距离为L/2。已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

（1）球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；

（2）球A在两球碰撞后一瞬间的速度大小；

（3）弹簧的弹性力对球A所做的功。

解：（1）设碰撞后的一瞬间，球B的速度为vB/，由于球B恰好与悬点O同一高度，根据动能定理：

①

②

（2）球A达到最高点时，只有水平方向速度，与球B发生弹性碰撞。设碰撞前的一瞬间，球A水平方向速度为vx。碰撞后的一瞬间，球A速度为vx/。球A、B系统碰撞过程中动量守恒和机械能守恒：

③

④

由②③④解得：⑤

及球A在碰撞前的一瞬间的速度大小 ⑥

（3）碰后球A作平抛运动．设从抛出到落地时间为t，平抛高度为y，则：

⑦

⑧

由⑤⑦⑧得：y=L

以球A为研究对象，弹簧的弹性力所做的功为W，从静止位置运动到最高点：

⑨

由⑤⑥⑦得：

W=mgL

三、多球弹性碰撞

多球碰撞问题，关键是依据碰撞次序分析每两球相碰撞后的情况，找出它的碰撞规律，从而解决有关物理量。

【例3】（重庆第25题）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s2）

（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度。

（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16h（16h小于绳长），问k值为多少？

（3）在第（2）问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断。为什么？

解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为vn、0、mn+1

根据动量守恒，有 ①

根据机械能守恒，有= ②

由①、②得

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为En+1

据题意有vn-1=

得vn-1== ③

（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有

④

v1= ⑤

同理可求，5号球碰后瞬间的速度

⑥

由③式得 ⑦

N=n=5时，v5= ⑧

由⑤、⑥、⑧三式得

k= ⑨

（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有

⑩

则 ⑾

⑾式中Ekn为n号球在最低点的动能

由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。

非常有趣的是，2006年物理高考重庆试卷的第25题也一个弹性碰撞问题，题目如下。是否与今年的第25题有相似之处？

【2006年重庆卷第25题】如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：

（1）待定系数β；

（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；

（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。

四、弹性碰撞与电磁学相结合

在巧妙的条件下，金属球在磁场中运动做阻尼运动，最终会停止，不断地与另一绝缘球进行弹性碰撞。

【例4】（全国I卷第24题）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=12m的金属球并挂悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

解：设：小球m的摆线长度为l

　　小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒： ①

m和M碰撞过程满足： ②

③

联立 ②③得： ④

说明小球被反弹，而后小球又以反弹速度和小球M发生碰撞，满足：

⑤

⑥

解得： ⑦

整理得： ⑧

所以： ⑨

而偏离方向为450的临界速度满足： ⑩

联立① ⑨ ⑩代入数据解得，当n=2时，

当n=3时，

所以，最多碰撞3次

五、弹性碰撞与原子物理相结合

近代物理学中，经常遇到的是微观粒子间的碰撞。微观粒子间的力是保守力，碰撞时没有能量损失，即为弹性碰撞。

【例5】（全国II卷第24题）用放射源钋的α射线轰击铍时，能发射出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氨（它们可视为处于静止状态）。测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氨核和氦核的质量之比为7．0。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢或氦发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1u等于1个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氦核的质量分别为1．0u和14u。）

解：设构成铍“副射”的中性粒子的质量和速度分别为m和v，氢核的质量为mH。构成铍“辐射”的中性粒子与氢核发生弹性正碰，碰后两粒子的速度分别为v′和vH′。由动量守恒与能量守恒定律得

mv＝mv′＋mHvH′ ①

mv2＝mv′2＋mHvH′2 ②

解得 vH′＝ ③

同理，对于质量为mN的氮核，其碰后速度为

VN′＝ ④

由③④式可得m＝ ⑤

根据题意可知 vH′＝7．0vN′ ⑥

将上式与题给数据代入⑤式得 m＝7/6u=1．2u

下面两题也是弹性碰撞与原子物理相结合的高考物理题。

【另题1】（山东第38题）在可控核反应堆中需要给快中子减速，轻水、重水和石墨等常用作减速剂。中子在重水中可与核碰撞减速，在石墨中与核碰撞减速。上述碰撞可简化为弹性碰撞模型。某反应堆中快中子与静止的靶核发生对心正碰，通过计算说明，仅从一次碰撞考虑，用重水和石墨作减速剂，哪种减速效果更好？

【另题2】（海南第19题的（2）问）一速度为v的高速α粒子（）与同方向运动的氖核（）发生弹性正碰，碰后α粒子恰好静止。求碰撞前后氖核的速度（不计相对论修正）

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