常量,变量,独立变量与非独立变量的区别(常量,变量,独立变量与非独立变量的关系)

常量、变量、独立变量与非独立变量

──由一道选择题引发的思考

湖北省应城市第二高级中学　田新轩

下面是一道学生出错率很高的选择题：题目如图1所示，闭合电路中除灯泡以外其余部分电阻不计，匀强磁场垂直于光滑的平行金属导轨所确定的平面，当质量为m的导体棒沿导轨下滑速度达到稳定时，灯泡消耗的电功率为P，要使灯泡消耗的电功率为2P，以下单独可行的措施是（　）

A．换一个电阻为原来2倍的灯泡

B．将磁感应强度变为原来的倍

C．换一个质量为原来的2倍的导体棒

D．将导轨间距变为原来的倍

分析　设导轨间距为L，磁感应强度为B，灯泡的电阻为R，导体棒的重力沿斜面向下的分力为F，当导体棒以稳定速度v匀速运动时，灯泡的电功率为P。根据功能关系和电磁感应规律有

　　①

　　②

错解　由①式知，故正确答案为选项C，或由②式知，故正确答案为选项BD。

正确解法由①、②式消去v，有，故正确答案为选项A。

无视物理意义，仅从物理表达式的数学形式判断物理量之间的函数关系是出错的根本原因。事实上，在和中，任何一个量的改变势必会引起稳定速度v的改变。v不是常量，故，，，，，均不正确。根据此题的条件约束下的物理意义，只有在表达式中，任何一个物理量的改变都不会引起除P以外的其他量的改变时，才能应用正、反比关系。例如，换一根质量较大的导体棒，决不会把灯泡的电阻也改变了……，所以有，，，，由此而得出的有关结论都是正确的。

为了引导学生识别物理表达式中各量的“身份”，正确确定物理量之间的函数关系，有必要帮助学生建立常量、变量、独立变量与非独立变量的概念。

一、常量

1．不变的物理量和一些不变的数，例如万有引力常量G、真空中的光速c，π、等。

2．纵向比较不变的量，例如做匀速直线运动的物体的速度。

3．横向比较相同的量，例如串联电路的各部分的电流I，在U＝IR，I被看做是常量，故有U∝R。

二、变量──非常量即为变量

1．独立变量，即一个量改变不会引起除因变量以外的其他量的改变，如例题中的B，R，L，F，由例题知，只有将某物理量由独立变量来表达，由它给出的函数关系才是正确的。

2．非独立变量，一个量改变会引起除因变量以外的其他量改变。例如，对于电场中的某确定的位置中的F与q为非独立变量，故，均不正确，又如例题中的B与v等。把非独立变量看做是独立变量，是确定物理量间关系的一大忌。

正确确定物理表达式中的物理量是常量还是变量，是独立变量还是非独立变量，不但是正确解答有关问题的前提和保障，而且还可以简化解答过程。

例1　如图2所示，甲、乙两个带电微粒处在真空中相互正交的匀强电场和匀强磁场，且电场方向竖直向下，甲带负电、电量为q1，恰好静止于A点；乙带负电、电量为q2(q1≠q2)，正在过A点的竖直平面内做半径为r的圆周运动，在运动过程中乙与甲发生碰撞并粘在一起。试判断它们以后的运动情况。

解析　带电微粒在磁场中做圆周运动有

磁感应强度B不变可以看做是常量，而两微粒碰撞时动量守恒，可将p也看做是常量，那么就有。故两颗粒粘在一起后继续做圆周运动，半径为。

特别值得指出的是，一个物理量是常量，还是变量，是独立变量还是非独立变量，并非一成不变。而是由不同问题的不同物理意义来确定。例如，用一根不可伸长的线系一物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，若给它不同大小的初速度，则由知，由知，因为此时速度可以独立于半径改变，是独立变量，但若把这个结论应用到人造卫星上，那就大错特错了。

例2　两个人造地球卫星的线速度，则其加速度之比为__________。

错解　由知。

错误　原因是误把v作为独立变量（或误把r作为常量）。事实上，人造卫星的v，r不能相互独立变化，正确的解答是，由和联立消除变量r，得

其中v是独立变量（GM为常量），v变化只会引起a变化，不会引起GM变化，故有

，即

物理公式和物理表达式有其丰富的内涵，它们给出了物理量之间的大小关系、单位关系及函数关系，其中，函数关系是中学物理公式教学的重点，而识别公式和表达式中的各物理量是常量还是变量，是独立变量还是非独立变量又是正确理解和正确运用物理表达式解题的关键。

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