棱锥的外接球半径公式(正三棱锥的外接球)

小数老师说

也可能是小数老师研究北京的题目太多了，最近几年没有看到这种问题，不过既然在微信平台上有同学提问了，那小数老师就帮这个同学整理一下吧！小数老师研究了一下，全国卷考这种题目还是比较多的，但是现在的难度也比小数老师上学时的简单了很多了！

找了最近的一些题目看了看，棱锥的外接球问题一般分为两类：已知棱锥的相关条件，求外接球的表面积或者体积等；已知棱锥的外接球的一些条件，求棱锥的相关信息！下面通过两道例题来看一下，这种题目该如何求解！

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1、已知棱锥，求外接圆

例1、已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积是

，则球O的表面积是（）

A、4πB、8πC、12πD、16π

解析：本题已知三棱锥的体积与底面边长，求球O的表面积，其实说白了，就是需要找到外接球的半径，再利用公式就能得出结果了。所以，第一步就是画图，

通过题目我们可以知道，此三棱锥的底面为等边三角形，那么就可以知道，如果过点P向底面做垂线的话，垂足一定落在三角形ABC的边BC的高上，也就是图中的CD上，由于PC是外接球的直径，因此取中点O，然后找到三角形ABC的外接圆的圆心C’，O’也在CD上，所以能得到OO’垂直于CD，所以OO’与PD平行，且OO’等于PD的一半，PD是三棱锥的高，根据三棱锥的体积就能求出高来，因此OO’的值也能求出来，而三角形OO’C是直角三角形，O’C是三角形ABC高的三分之二，因此列出方程，球的半径就能求了。

具体解题步骤同学们自己补全吧！

答案选择：A

例2、已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1：S2的值为（）

A、3B、

C、9D、

解析：正四面体为载体，同学们真是沾大光了哈，棱长与底边都相等，其性质也特别好，外接球的球心与内切球的球心是一个，都在正四面体的高上，接下来画图找几何性质即可。

如图：点O是正四面体外接球与内切球的球心，并且BO为外接球的半径，OE为内切球的半径，三角形BOE为直角三角形，E点为三角形BCD的边CD上的高BF上的点，并且BE:EF=2：1，所以，根据这些条件进行列方程即可求出比值来。

答案选择：C

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2、已知外接圆，求棱锥

　例3、已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2，AC=

，∠BAC=

，则棱PA的长为（）

A、

B、

C、3 D、9

解析：通过题意，可以得出三棱锥为墙角型的，如图：

对于墙角型三棱锥，寻找外接球一般采取补形法，也就是以AB,AC,PA为边做出长方体来，长方体的外接球与此三棱锥的外接球相同，而对于长方体来说，其外接球的直径为长方体的体对角线，体对角线l与长方体的长a宽b高c的关系是：

，通过此关系，列方程即可得到结果。

答案选择：C。

以上就是小数老师给大家的三个例题，同学们可以发现，不管是哪种类型，重点是要找到球心，也就是要把三棱锥的几何性质搞清楚，同学们也不用担心，现在考试题目都不是很难，大家重点研究正三棱锥，正四面体，和墙角型的三棱锥就足以应对了！加油吧！

有什么想看的，欢迎大家发信息哈，小数老师精力有限，可能总结的不是那么全面，但是小数老师一定以高考题为参考题型来分析每个知识点的哈！

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