2008年高考物理试题中的数学模型题(2008年高考物理试题中的数学模型是什么)

2008年高考物理试题中的数学模型

陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室　邢彦君

将物理模型转化为数学模型，使物理问题化为数学问题，运用数学方法进行分析求解，是物理解题的基本策略之一。2008年物理试题涉及的典型数学模型有以下几个方面。

1．平面几何模型：直角三角形外接圆问题

　例1（海南物理—6）如图1所示，匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°。电场方向与三角形所在平面平行。已知a、b和c点的电势分别为V、和2 V。该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（　　）

A．V　V

B．0V　4V

C．　V

D．0V　V

分析与求解：由公式U=qE可推知，如图2所示，ab中点（外接圆圆心）o的电势为2V，连接oc过o点作oc垂线交圆周于e、f，ef方向即为电场方向，故外接圆上f点电势最低，e点电势最高。设ab=2l，则场强E=(Ub-Ua)/2lcos30o=2/l，由U=Ed有：Ue-2V=El和2V-Uf=El代入E可算得Uf=0、Ue=4V，故本题选B。

2．解析几何模型：曲线方程问题

　例2（上海物理—23）如图3所示为研究电子枪中电子在电场中运动的简化模型示意图。在Oxy平面的ABCD区域内，存在两个场强大小均为E的匀强电场I和II，两电场的边界均是边长为L的正方形（不计电子所受重力）。

（1）在该区域AB边的中点处由静止释放电子，求电子离开ABCD区域的位置。

（2）在电场I区域内适当位置由静止释放电子，电子恰能从ABCD区域左下角D处离开，求所有释放点的位置。

（3）若将左侧电场II整体水平向右移动L/n（n≥1），仍使电子从ABCD区域左下角D处离开（D不随电场移动），求在电场I区域内由静止释放电子的所有位置。

分析与求解：（1）设电子的质量为m，电量为e，在电场I中做匀加速直线运动，出区域I时的为v0，此后进入电场II做类平抛运动。假设电子从CD边射出，出射点纵坐标为y，则整个运动过程中对电子先后运用动能定理及匀变速位移公式有：

解得　y＝，所以原假设成立，即电子离开ABCD区域的位置坐标为（－2L，）

（2）设释放点在电场区域I中，其坐标为（x，y），在电场I中电子被加速到v1，然后进入电场II做类平抛运动，并从D点离开，同理，有：

，

解得：　xy＝，即在电场I区域内满足此方程的点即为所求位置。

（3）设电子从（x，y）点释放，在电场I中加速到v2，进入电场II后做类平抛运动，在高度为y′处离开电场II时的情景与（2）中类似，然后做匀速直线运动，经过D点，则有：

，，，

解得：，满足此方程的点即为在电场I区域内所求位置。

3．一元二次方程模型：根的判别式问题

　例3（四川理综—24）如图4所示，一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下，固定在水平面上。整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下。一电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，圆心为O/。球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ（0＜θ＜。为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度大小的最小值及小球P相应的速率。重力加速度为g。

分析与求解：依题意，小球P在球面上做水平的匀速圆周运动，该圆周的圆心为O/。P受到向下的重力mg、球面对它沿OP方向的支持力N和磁场的洛仑兹力：f＝qvB ，式中v为小球运动的速率。洛仑兹力f的方向指向O/。根据牛顿第二定律有：和。

由以上三式得关于v的方程：。当小球在圆周上运动时v必有实数解，所以方程必须满足：≥0，解得：B≥。可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值应为：，此时带电小球做匀速圆周运动的相应速率为：。

4．级数模型：求和问题

　例4（四川理综—25）如图5所示，一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0．09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0．2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10 m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

分析与求解：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由动能定理有：。以沿斜面向上为正方向，对与挡板碰撞的小物块运用动量动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为：。

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。同理，有

，，。

解以上六式有：，令 则：。由此可知，小物块前4次与挡板碰撞时，每次挡板对小球的冲量成等比级数，首项为：

总冲量为：，由得：，代入数据得：N·s

数学方法是物理学的研究方法之一，运用数学知识解决物理问题的能力，是物理学的基本能力之一，也是高考考查的重要能力。复习中在数学通法训练的同时，要善于将物理模型转化为数学模型，用相应的数学方法分析与求解，注意数学技巧的归纳与总结。

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