高考数学一题多解案例(高考数学题一题多解)

从一题多解谈高考数学复习

湖南省洞口县第四中学　肖洪洋

在高考复习过程中，正确引导学生进行一题多解是培养学生发散性思维的有效方法，学生如果学会了发散性思维，就能全面考虑问题，就能沿着提供的已知条件、从不同角度去思考解决问题，这样就能开发学生智力，活跃学生思维、提高学生能力，只有培养了学生灵活运用知识的能力，才能达到高效复习的目标。本文以现行高中人教版选修2－1第二章P69页的 “例4：斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。”的教学过程为例，谈一谈如何在例题教学中引导学生开展发散性思维的训练。现将教学过程的设计如下，供大家参考。

分析一（常规法）：求直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离.

解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为（1，0），所以直线AB的方程为. ①

将方程①代入抛物线方程，得

化简得.

解之得：.

将，的值分别代入方程①中，得

.

即A、B坐标分别为、.

.

分析二（弦长公式法）：先通过联立方程组，利用直线与圆锥曲线相交的弦长公式.

解法二：如上图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为（1，0），所以直线AB的方程为. ①

将方程①代入抛物线方程，

得 化简得.

.

分析三（数形结合法）：考虑到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的.

解法三：在上图中，由抛物线的定义可知，等于点A到准线的距离.

同理,于是得.

由此可以看到，本题在得到方程后，根据根与系数关系可以直接得到.

于是可以求出|.

分析四（参数方程法）：利用选修4－4中的参数方程知识，用直线的参数方程与抛物线方程进行联立，利用计算.

解法四：如上图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为（1，0），直线的倾斜角为，所以直线AB的方程的参数方程为，

联立参数方程与抛物线方程得整理：.

所以.

通过一题多解还可培养学生的多方向探索思考问题的能力，在平常的教学过程中取得了良好的教学效果，也为高考中解决有关解析几何压轴题奠定了很好的思维基础。

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