2009清华自主招生数学(清华北大自主招生十年真题)

2010清华特色测试数学试题与解答

第一部分

1. 求值：(sin10)^4 + (sin40)^4 + (sin70)^4

答案：9/8.

（解答过程略，条条大路通罗马）

2.长为L（L为整数）的木棒可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成2＋2两段，而长为7的木棒第一次可以锯成3＋4，第二次可以再将长为4的木棒锯成2＋2，这时2＋2＋3三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？

解：至多可以锯成6段。

锯成6段的方案：30=12+18, 18=8+10, 12=6+6, 10=5+5, 8=4+4.

引理1：每次只能锯当前最长的一段。

引理2：如果当前最长的不少于两段，则无法再锯下去。

利用这两个引理（证略），对各种锯木棒的方案分类讨论。此处略。

3. 将数轴上的每个点用N种颜色之一染色，要求任意距离为1、根号2 或 根号5的两点不同色。求N的最小值。

解：N的最小值为2。

每个实数x可以表示成 a + b*sqrt(2) + c*sqrt(5) + t 的形式，其中a,b,c均为整数，且a,b,c的正负与x的正负相同。由于存在无穷多种表示方法，我们取使得|a|<|x|且|a|最大的，在此前提下取使得|b|<|x|且|b|最大的，在此前提下再取使得|c|<|x|且|c|最大的，这样实数 t 就随之确定了。即每个实数x都对应着一组正整数{a.b,c}。

如下染色：将 a+b+c 为奇数的实数染为红色，将 a+b+c 为偶数的实数染成蓝色。

假设同色两点距离为 1，sqrt(2)或sqrt(5)，不妨设均为红色，两个实数分别为 x= a + b*sqrt(2) + c*sqrt(5)，y= i + j*sqrt(2) + k*sqrt(5)。此时 x-y = (a-i) +(b-j)*sqrt(2) + (c-k)*sqrt(5)。由于 x-y = 1或sqrt(2)或sqrt(5)，故满足 a-i=1, b-j=0, c-k=0 或 a-i=0, b-j=1, c-k=0 或 a-i=0, b-j=0, c-k=1。无论是上述哪种情况，(a+b+c)-(i+j+k)=1，故 a+b+c 与 i+j+k 的奇偶性不同，与两点同色矛盾。

故这样的染色方案符合题意。

4. 12个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机的戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子，每个人可以看到其余11个人帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后12个人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色。请为这12个人在游戏前商定一个方案，使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能大。

解：将红、黄、蓝、绿四种颜色分别代表数字0、1、2、3，策略是每个人将其余11个人帽子颜色所代表的数字求和，设为S。S除以4的余数设为d，（4-d）mod 4对应的颜色即为他所猜的颜色。

例如12个人都戴黄帽子，每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11，模4余3，4-3=1对应黄色，全都猜对。

这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为1/4。当且仅当12个人的帽子颜色所代表数字之和为4的倍数时，12个人能够同时猜对。不然，12个人会同时猜错。由于或者同时猜对，或者同时猜错，这个同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等，为1/4。

而多个人猜测时，由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息，因此12人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率，即1/4。因此上述方案是最优的。

第四部分

二、用长为 l 的火柴棍（看成线段）完全随机地投在 间距为 d 的互相平行的若干直线上（平行线足够多）。

1. 求火柴棍与平行线相交的概率。

2. 若使得这个概率趋近于 圆周率pi，求 l与d 的比值。

笔者注：原题中用N(cross)/N(all)表示概率，并给了两个积分表达式。不过我有一个非常巧妙的办法：

考虑曲线与平行线的交点个数的期望值。首先证明，任意曲线与平行线交点个数的期望值正比于曲线长度。将曲线分割成长度相等的足够多份，使每一份足够短到可以看成线段，这样每条长度相同的小线段与平行线交点个数的期望值是一定的。根据期望的可加性，曲线的期望值等于各条小线段期望值之和，这样曲线的期望值正比于小线段的条数，亦即曲线的长度。

我们考虑半径为 d/2 的圆，这个圆无论如何放置都与平行线恰有两个交点，因此长度为 pi*d 的曲线与平行线交点个数的期望值为 2。因此，根据前面成正比的定理，长为 l 的线段与平行线交点个数的期望值为 2l / (pi*d).

当 l<d 时，线段与平行线至多有1个交点，因此有交点的概率就是期望值 2l / (pi*d).

当 l=d 时，虽然有可能恰有两个交点，但其概率为零，故有交点的概率为 2 / pi.

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