高考数学直线与圆(高三直线与圆专题课)

无论各科的学习，最后一个多月只要重视突出，肯下苦功总会见效果。那么高考各科答题技巧有哪些呢?以下是为广大考生准备的2014高三数学二轮专题复习之13 14直线与圆，更多有关高考各科历年真题试题及答案解析，学习网完备的资料库为广大考生提供全面的备考参考。以下是2014高三数学二轮专题复习之13 14直线与圆：

1．直线的方程

(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾斜角的范围是[0，π)．

(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况．

(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解．

(4)求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，注意分类讨论的思想．

(5)在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．另外，解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．

(6)判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l1，l2斜率都存在，且均不重合的条件下，才有l1l2?k1＝k2与l1l2?k1k2＝－1.

(7)点到直线的距离：d＝.

(8)在运用公式d＝求平行直线间的距离时，一定要把x，y项的系数化成相等的系数．

2．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r.

(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心为(－，－)，半径为r＝；二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

(3)圆的方程中有三个独立系数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的方法可用待定系数法．根据所给条件恰当选择标准方程或一般方程．

(4)讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离和两圆的圆心距与半径关系)去考虑，其中用几何特征较为简捷、实用．

1.已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)

A．1　　　　　　　　 B．－1

C．－2或－1 D．－2或1

解析：由题意得a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.

答案：D

2．“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：m＝2时，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行，故充分性成立；反之，直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行时，m＝2，故必要性成立．所以“m＝2”是“直线2x＋my＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件．

答案：A

3．已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是(　　)

A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0

C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0

解析：圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，

即(x－4)2＋(y－1)2＝7，

圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，kOM＝1，kl＝－1，l的方程为：y＝－1·(x－3)，

即x＋y－3＝0.

答案：A

4．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.

解析：由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，

解得a＝.

答案：

5．若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．

解析：由题意可知圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2.

答案：2

热点之一　　两条直线的位置关系

1．给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，

则有下列结论：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；

l1⊥l2?k1·k2＝－1.

2．若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：

l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0；

l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.

对于斜率存在的一般式也可以化为斜截式再进行处理．

【例1】　a为何值时，(1)直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(3a－1)x－ay－1＝0平行？

(2)直线l3：2x＋ay＝2与直线l4：ax＋2y＝1垂直？

【解】　(1)当a＝0时，两直线的斜率不存在，直线l1：x－1＝0，直线l2：x＋1＝0，此时，l1l2.

②当a≠0时，l1：y＝－x＋，l2：y＝x－，

直线l1的斜率为k1＝－，直线l2的斜率为k2＝，

要使两直线平行，必须

解得a＝.

综合可得当a＝0或a＝时，两直线平行．

(2)方法1：当a＝0时，直线l3的斜率不存在，直线l3：x－1＝0，直线l4：y－＝0，此时，l3l4.

②当a≠0时，直线l3：y＝－x＋与直线l4：y＝－x＋，直线l3的斜率为k3＝－，直线l4的斜率为k4＝－，要使两直线垂直，必须k3·k4＝－1，

即－·(－)＝－1，不存在实数a使得方程成立．

综合可得当a＝0时，两直线垂直．

方法2：要使直线l3：2x＋ay＝2和直线l4：ax＋2y＝1垂直，根据两直线垂直的充要条件，必须A1A2＋B1B2＝0，即2a＋2a＝0，解得a＝0，

所以，当a＝0时，两直线垂直．

热点之二　　求直线的方程

1．求直线方程的主要方法是待定系数法．在使用待定系数法求直线方程时，要注意方程的选择，在用点斜式、斜截式时一定要考虑斜率是否存在．

2．过两直线l1和l2交点的直线方程可设为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0；而与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线一般可设为Ax＋By＋m＝0；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程一般可设为Bx－Ay＋n＝0，这就是直线系方程．

【例2】　已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．

【解析】　依题意可设圆心坐标为(a,0)，a>0，

则半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，()2＋()2＝|a－1|2，

解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，

则过圆心且与直线l垂直的直线方程为x＋y－3＝0.

热点之三　　圆的方程

求圆的方程一般有两类方法：几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

【例3】　(2010·全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K(－1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

(1)证明：点F在直线BD上；

(2)设·＝，求BDK的内切圆M的方程．

【解】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l的方程为x＝my－1(m≠0)．

(1)证明：将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0，从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4，直线BD的方程为y－y2＝·(x－x2)，即y－y2＝·(x－)．

令y＝0，得x＝＝1.所以点F(1,0)在直线BD上．

(2)由(1)知，x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，

x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝1.

因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2

＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，

故8－4m2＝，解得m＝±.

所以l的方程为3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.

又由(1)知y2－y1＝±＝±，

故直线BD的斜率＝±，

因而直线BD的方程为3x＋y－3＝0,3x－y－3＝0.

因为KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(－1)

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