高中数学必修五电子课本(高中数学必修五目录)

（一）圆的标准方程

1.圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径.

2.圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

说明：

（1）上式称为圆的标准方程.

（2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是x2+y2=r2.

（3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圆心为（a，b），半径为r.

（4）确定圆的条件

由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件.

（5）点与圆的位置关系的判定

若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＞r2；

若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＜r2；

（二）圆的一般方程

任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x2+y2+Dx+Ey+F=0①

将①配方得：

②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4

当时，方程①表示以（-D/2，-E/2）为圆心，以为半径的圆；

当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（-D/2，-E/2）；

当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形.

故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程.

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于0；

（2）没有xy这样的二次项.

以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件.

要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了.

（三）直线和圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系

研究直线与圆的位置关系有两种方法：

（l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.

d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d

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