卓越联盟数学竞赛2020(卓越联盟高一试卷2020数学)

2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题

(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为

(A) (B) (C) (D)

(2)已知sin2(a+g)=nsin2b，则 2 等于

(A) (B) (C) (D)

(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为

(A) (B) (C) (D)

(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则 的最大值为

(A) -1 (B)2- (C) +1 (D)2+

(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为

(A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x

(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为

(A) (B) (C) (D)

(7)若关于x的方程 =kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )

(A)(0，1) (B)( ，1) (C)( ，+∞) (D)(1，+∞)

(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为

(A) (B)

(C) (D)2

(9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )

(A)100 (B)120 (C)140 (D)160

(10)设s是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为 的旋转，t表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用ts表示变换的复合，先做t，再做s，用sk表示连续k次的变换，则sts2ts3ts4是( )

(A)s4 (B)s5 (C)s2t (D)ts2

(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an．

(Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列；

(Ⅱ)若 (a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．

(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．

(Ⅰ)求k的取值范围；

(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？

(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x- 相切．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．

(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为Xn．

(Ⅰ)求EX1；

(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b；

(Ⅲ)证明：EXn+1=(1- )EXn+1．

(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)；

(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得 取得最小值；

(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b<ln2．

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