高中数学量词与逻辑联结词(量词与命题联结词之间的蕴含式证明方法)

2016高考各科复习资料

2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。

§1.2命题与量词、基本逻辑联结词;2014高考会这样考1.以量词为载体，判断命题的;复习备考要这样做1.充分理解逻辑联结词的含义，注;1.命题的概念;能够判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫;2.全称量词与全称命题;(1)词，并用符号“?”表示.;(2)(3)全称命题的符号表示：;形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简;(1)的个体或部分

§1.2 命题与量词、基本逻辑联结词

2014高考会这样考 1.以量词为载体，判断命题的真假;2.考查基本逻辑联结词的含义，在与其他知识交汇处命题.

复习备考要这样做 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别;2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深;3.注意逻辑与其他知识的交汇.

1.命题的概念

能够判断真假的语句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

2.全称量词与全称命题

(1)词，并用符号“?”表示.

(2) (3)全称命题的符号表示：

形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“?x∈M，p(x)”. 3.存在量词与存在性命题

(1)的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示. (2) (3)存在性命题的符号表示：

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为?x∈M，q(x). (4)全称命题与存在性命题的否定

4.(1) (2)命题真值表：

[难点正本 1.命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系. 2.逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同.如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x?B;x?A且x∈B;x∈A且x∈B三种情况.再如“p真或q真”是指：p真且q假;p假且q真;p真且q真三种情况.

1.下列命题中，所有真命题的序号是________. ①5>2且7>4;②3>4或4>32不是无理数. 答案 ①②

解析 ①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真. ②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真. ③22不是无理数为假命题.

点评 对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题.

1

2.已知命题p：?x∈R，x2+2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、p∨q

x中是真命题的是________. 答案 p、p∨q

解析 x=±1时，p成立，所以p真，q假，p∨q真，p∧q假.

3.若命题“?x∈R，有x2-mx-m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________. 答案 [-4,0]

解析 “?x∈R有x2-mx-m<0”是假命题，则“?x∈R有x2-mx-m≥0”是真 命题.即Δ=m2+4m≤0， ∴-4≤m≤0.

4.(2012·湖北)命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是 A.?x?RQ，x3∈Q C.?x?RQ，x3∈Q 答案 D

( )

B.?x∈?RQ，x3Q D.?x∈?RQ，x3Q

解析 “?”的否定是“?”，x3∈Q的否定是x3Q.

命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是“?x∈?RQ，x3Q”，故应选D. 5.有四个关于三角函数的命题： xx1p1：?x∈R，sin2cos2

222

p2：?x，y∈R，sin(x-y)=sin x-sin y p3：?x∈[0，π]，

1-cos 2x

=sin x 2

π

p4：sin x=cos y?x+y=2其中的假命题是 A.p1，p4 C.p1，p3 答案 A

解析 p1为假命题;对于p2，令x=y=0，显然有sin(x-y)=sin x-sin y，即p2为真1-cos 2x

命题;对于p3，由sin2x，当x∈[0，π]时，sin x≥0，sin x2

1-cos 2x

2

( )

B.p2，p4 D.p2，p3

5π2

于是可判断p3为真命题;对于p4，当x=时，有sin x=cos y=-p4是

42

假命题.

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假

例1 已知命题p1：函数y=2x-2x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2x在R上为

-

-

减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是

( )

A.q1，q3 C.q1，q4

B.q2，q3 D.q2，q4

思维启迪：先判断命题p1、p2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假.

答案 C

解析 命题p1是真命题，p2是假命题，故q1为真，q2为假，q3为假，q4为真. 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解.

(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假;②明确其构成形式;③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假.

写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命

题，并判断真假：

(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;

(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂直;

(3)p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.

解 (1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题. p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题. 綈p：1不是素数.真命题.

(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题. 綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.

(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题. 綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题. 题型二 含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假： 1

(1)p：?x∈R，x2-x0;

4(2)q：所有的正方形都是矩形; (3)r：?x∈R，x2+2x+2≤0; (4)s：至少有一个实数x使x3+1=0.

思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定;判断命题的真假. 1

解 (1)綈p：?x∈R，x2-x<0，假命题.

4(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题. (3)綈r：?x∈R，x2+2x+2>0，真命题.

(4)綈s：?x∈R，x3+1≠0，假命题.

探究提高 全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词;二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

(1)已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则

A.綈p：?x∈R，sin x≥1 B.綈p：?x∈R，sin x≥1 C.綈p：?x∈R，sin x>1 D.綈p：?x∈R，sin x>1

(2)命题p：?x∈R,2x+x2≤1的否定綈p为__________________________________. 答案 (1)C (2)?x∈R,2x+x2>1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用

例3 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根;q：不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围. 思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p，q的真假，然后 判断“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假.

2

??Δ=m-4>0，

解 p为真命题???m>2;

?-m<0?

( )

q为真命题?Δ=[4(m-2)]2-4×4×1<0?1

　　由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假.

　　??m>2，

　　当p真，q假时，由??m≥3;

　　?m≤1或m≥3???m≤2，

　　当p假，q真时，由??1

　　?1

　　综上，知实数m的取值范围是(1,2]∪[3，+∞).

　　探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.

　　已知a>0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增;命题q：不等式ax2

　　-ax+1>0对?x∈R恒成立.若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围. 解 ∵函数y=ax在R上单调递增，∴p：a>1. 不等式ax2-ax+1>0对?x∈R恒成立，且a>0，包含各类专业文献、高等教育、专业论文、各类资格考试、应用写作文书、行业资料、文学作品欣赏、中学教育、第一章 命题与量词、基本逻辑联结词等内容。

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(责任编辑：周怡灵）

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